تعريف رسمي
لتكن G زمرة و H زمرة جزئية من G. نقول أن H زمرة جزئية متعددة الاعتيادية في G إذا تحقق الشرط التالي:
لكل g ∈ G، فإن gHg⁻¹ = H
حيث أن gHg⁻¹ يمثل الاقتران للزمرة الجزئية H بواسطة العنصر g.
شرح الاقتران
الاقتران هو عملية مهمة في نظرية الزمر، وهي تعكس التماثل الداخلي للزمرة. لتبسيط الفهم، يمكن النظر إلى الاقتران كعملية “تدوير” للزمرة الجزئية H داخل الزمرة G بواسطة العنصر g. إذا كانت النتيجة بعد التدوير هي نفس الزمرة الجزئية الأصلية (أي gHg⁻¹ = H)، فهذا يعني أن H ثابتة تحت هذا التدوير المحدد بواسطة g.
رياضيًا، يتم تعريف الاقتران كالتالي:
gHg⁻¹ = {ghg⁻¹ | h ∈ H}
هذا يعني أننا نأخذ كل عنصر h في H، ونقوم بضربه من اليسار بـ g ومن اليمين بـ g⁻¹، ونجمع جميع هذه النواتج لتشكيل المجموعة الجديدة gHg⁻¹.
أمثلة
لتوضيح مفهوم الزمرة متعددة الاعتيادية، دعنا نستعرض بعض الأمثلة:
- المثال الأول: لنفترض أن لدينا زمرة G = {e, a, b, c} حيث e هو العنصر المحايد، وكانت H = {e, a} زمرة جزئية من G. إذا كان لكل عنصر g في G، gHg⁻¹ = H، فإن H تكون زمرة جزئية متعددة الاعتيادية في G.
- المثال الثاني: في الزمرة التبديلية Sn (زمرة التبديلات على n من العناصر)، إذا كانت H هي الزمرة الجزئية التي تثبت عنصرًا معينًا، فإن H ليست بالضرورة زمرة جزئية متعددة الاعتيادية. يعتمد ذلك على بنية Sn وعلى العنصر الذي تثبته H.
- المثال الثالث: إذا كانت H هي الزمرة المحايدة {e} في أي زمرة G، فإن H هي دائمًا زمرة جزئية متعددة الاعتيادية، لأن g{e}g⁻¹ = {geg⁻¹} = {e} لجميع g ∈ G.
خصائص الزمر متعددة الاعتيادية
تتميز الزمر متعددة الاعتيادية ببعض الخصائص الهامة التي تجعلها مفيدة في دراسة الزمر:
- الزمرة الاعتيادية هي حالة خاصة: كل زمرة اعتيادية هي زمرة جزئية متعددة الاعتيادية، ولكن العكس ليس صحيحًا دائمًا. الزمرة الاعتيادية تحقق شرطًا أقوى، وهو أن gHg⁻¹ = H لجميع g ∈ G، بينما الزمرة متعددة الاعتيادية تحقق نفس الشرط، ولكن قد تكون هناك قيود إضافية على العلاقة بين H و G.
- الاستقرار تحت الاقتران: الزمرة متعددة الاعتيادية تظل ثابتة تحت عملية الاقتران، مما يعني أن بنية الزمرة لا تتغير عند تطبيق الاقتران عليها. هذا الاستقرار يجعلها مفيدة في تحليل الزمر وفهم تماثلاتها الداخلية.
- العلاقة بالزمر الحاصلة: في بعض الحالات، يمكن استخدام الزمر متعددة الاعتيادية لتحديد بنية الزمر الحاصلة (Quotient Groups). إذا كانت H زمرة جزئية متعددة الاعتيادية في G، فقد يكون من الممكن تكوين زمرة حاصلة G/H، ودراسة خصائصها.
الزمر الاعتيادية مقابل الزمر متعددة الاعتيادية
من المهم التمييز بين الزمر الاعتيادية والزمر متعددة الاعتيادية. الزمرة الاعتيادية هي حالة خاصة من الزمرة متعددة الاعتيادية، ولكنها تحمل شروطًا أكثر تقييدًا. فيما يلي جدول يلخص الفروق الرئيسية بينهما:
| الخاصية | الزمرة الاعتيادية | الزمرة متعددة الاعتيادية |
|---|---|---|
| التعريف | H هي زمرة اعتيادية في G إذا كان gHg⁻¹ = H لكل g ∈ G. | H هي زمرة متعددة الاعتيادية في G إذا كان gHg⁻¹ = H لبعض g ∈ G. (ليس بالضرورة لكل g) |
| الشرط | يجب أن يتحقق الشرط لجميع عناصر G. | قد يتحقق الشرط لبعض عناصر G فقط. |
| القوة | شرط أقوى. | شرط أضعف. |
| العلاقة | كل زمرة اعتيادية هي زمرة متعددة الاعتيادية. | ليست كل زمرة متعددة الاعتيادية هي زمرة اعتيادية. |
أهمية الزمر متعددة الاعتيادية
تكمن أهمية الزمر متعددة الاعتيادية في عدة جوانب:
- فهم بنية الزمر: تساعد في تحليل الزمر المعقدة وتقسيمها إلى زمر أصغر وأكثر قابلية للفهم.
- دراسة التماثلات الداخلية: تساعد في فهم كيف تتصرف الزمرة تحت عمليات التماثل الداخلية.
- تطبيقات في مجالات أخرى: تستخدم في مجالات أخرى من الرياضيات مثل نظرية التمثيل ونظرية جالوا.
تطبيقات الزمر متعددة الاعتيادية
تجد الزمر متعددة الاعتيادية تطبيقات في مجالات مختلفة من الرياضيات والعلوم الأخرى:
- نظرية جالوا: تستخدم في دراسة حلول المعادلات الجبرية.
- نظرية التمثيل: تستخدم في تمثيل الزمر كمجموعات من المصفوفات.
- الفيزياء: تستخدم في دراسة التماثلات في الفيزياء، مثل تماثلات الجسيمات الأولية.
أمثلة متقدمة
لنفترض أن لدينا الزمرة المتماثلة S3، وهي زمرة التبديلات على ثلاثة عناصر. عناصر S3 هي: {e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}. لنفترض أن لدينا الزمرة الجزئية H = {e, (1 2)}. لكي نحدد ما إذا كانت H زمرة جزئية متعددة الاعتيادية في S3، يجب علينا أن نحسب gHg⁻¹ لكل g ∈ S3.
على سبيل المثال، إذا أخذنا g = (1 3)، فإن:
(1 3) {e, (1 2)} (1 3)⁻¹ = {(1 3) e (1 3)⁻¹, (1 3) (1 2) (1 3)⁻¹} = {e, (2 3)}
بما أن (1 3) H (1 3)⁻¹ ≠ H، فإن H ليست زمرة جزئية اعتيادية في S3. ومع ذلك، يمكن أن تكون زمرة جزئية متعددة الاعتيادية إذا كان هناك على الأقل عنصر واحد g يحقق gHg⁻¹ = H. في هذه الحالة، H ليست زمرة جزئية متعددة الاعتيادية.
التعميمات
يمكن تعميم مفهوم الزمرة متعددة الاعتيادية إلى مفاهيم أخرى في نظرية الزمر، مثل:
- الزمر شبه الاعتيادية (Quasinormal Subgroups): وهي تعميم للزمر الاعتيادية، حيث لا يشترط أن يكون الاقتران متطابقًا، ولكن يجب أن يحقق شرطًا أضعف.
- الزمر تحت الاعتيادية (Subnormal Subgroups): وهي سلسلة من الزمر الجزئية حيث كل زمرة جزئية هي اعتيادية في الزمرة الجزئية التي تليها مباشرة.
خاتمة
الزمرة متعددة الاعتيادية هي مفهوم أساسي في نظرية الزمر يساعد في فهم بنية الزمر وعلاقات الزمر الجزئية داخلها. على الرغم من أنها ليست بنفس قوة الزمرة الاعتيادية، إلا أنها توفر معلومات قيمة حول التماثلات الداخلية للزمرة وتطبيقاتها في مجالات مختلفة من الرياضيات والعلوم الأخرى. فهم هذا المفهوم يساهم في تعميق المعرفة ببنية الزمر وتطبيقاتها.