مقدمة
تعتبر الطرق العددية ضرورية لحل العديد من المشكلات الهندسية والفيزيائية التي لا يمكن حلها تحليليًا. أحد الجوانب الأساسية في الطرق العددية هو تقريب المشتقات. توفر خماسية النقاط طريقة بسيطة وفعالة لتقريب المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية، مما يجعلها أداة قيمة في العديد من التطبيقات. تعتمد دقة خماسية النقاط على حجم الشبكة، حيث تؤدي الشبكات الأصغر حجمًا عمومًا إلى نتائج أكثر دقة ولكنها تتطلب المزيد من الحسابات.
اشتقاق خماسية النقاط
يمكن اشتقاق خماسية النقاط باستخدام توسيع تايلور. لنفترض أن لدينا شبكة تربيعية ذات تباعد منتظم h في كلا الاتجاهين x و y. لتقريب المشتقة الجزئية الثانية للدالة u(x, y) عند النقطة (i, j)، نستخدم قيم الدالة عند النقاط (i+1, j)، (i-1, j)، (i, i+1)، و (i, j-1).
باستخدام توسيع تايلور حول النقطة (i, j):
u(i+1, j) = u(i, j) + h * ∂u/∂x(i, j) + (h^2/2) * ∂^2u/∂x^2(i, j) + (h^3/6) * ∂^3u/∂x^3(i, j) + …
u(i-1, j) = u(i, j) – h * ∂u/∂x(i, j) + (h^2/2) * ∂^2u/∂x^2(i, j) – (h^3/6) * ∂^3u/∂x^3(i, j) + …
u(i, j+1) = u(i, j) + h * ∂u/∂y(i, j) + (h^2/2) * ∂^2u/∂y^2(i, j) + (h^3/6) * ∂^3u/∂y^3(i, j) + …
u(i, j-1) = u(i, j) – h * ∂u/∂y(i, j) + (h^2/2) * ∂^2u/∂y^2(i, j) – (h^3/6) * ∂^3u/∂y^3(i, j) + …
بجمع المعادلتين الأولى والثانية، نحصل على:
u(i+1, j) + u(i-1, j) = 2u(i, j) + h^2 * ∂^2u/∂x^2(i, j) + O(h^4)
وبجمع المعادلتين الثالثة والرابعة، نحصل على:
u(i, j+1) + u(i, j-1) = 2u(i, j) + h^2 * ∂^2u/∂y^2(i, j) + O(h^4)
بإعادة ترتيب هذه المعادلات، نحصل على تقريب للمشتقات الجزئية الثانية:
∂^2u/∂x^2(i, j) ≈ (u(i+1, j) – 2u(i, j) + u(i-1, j)) / h^2
∂^2u/∂y^2(i, j) ≈ (u(i, j+1) – 2u(i, j) + u(i, j-1)) / h^2
لتقريب لابلاسية الدالة u(x, y) (أي مجموع المشتقات الجزئية الثانية):
∇^2u(i, j) = ∂^2u/∂x^2(i, j) + ∂^2u/∂y^2(i, j) ≈ (u(i+1, j) + u(i-1, j) + u(i, j+1) + u(i, j-1) – 4u(i, j)) / h^2
هذه هي الصيغة القياسية لخماسية النقاط لتقريب لابلاسية.
تطبيقات خماسية النقاط
تُستخدم خماسية النقاط على نطاق واسع في حل المعادلات التفاضلية الجزئية، وخاصة:
- معادلة لابلاس: ∇^2u = 0
- معادلة بواسون: ∇^2u = f
حيث u هي الدالة المجهولة و f هي دالة معطاة.
مثال: حل معادلة لابلاس
لنفترض أننا نريد حل معادلة لابلاس في مربع باستخدام شروط حدودية ديريشليت (Dirichlet boundary conditions)، أي قيم u معطاة على حدود المربع. نقوم بتقسيم المربع إلى شبكة تربيعية ونطبق خماسية النقاط عند كل نقطة داخلية في الشبكة. هذا يعطينا نظامًا من المعادلات الخطية التي يمكن حلها باستخدام طرق عددية مثل طريقة جاكوبي (Jacobi method) أو طريقة غاوس-سايدل (Gauss-Seidel method).
بالتفصيل، عند كل نقطة داخلية (i, j) في الشبكة، نستبدل ∇^2u(i, j) بالتقريب لخماسية النقاط:
(u(i+1, j) + u(i-1, j) + u(i, j+1) + u(i, j-1) – 4u(i, j)) / h^2 = 0
بإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على:
u(i, j) = (u(i+1, j) + u(i-1, j) + u(i, j+1) + u(i, j-1)) / 4
هذا يعني أن قيمة u عند النقطة (i, j) هي متوسط قيم u عند جيرانها الأربعة. نبدأ بتخمين أولي لقيم u عند جميع النقاط الداخلية ونكرر هذه العملية حتى تتقارب القيم إلى حل مستقر. هذا هو جوهر طريقة جاكوبي لحل معادلة لابلاس باستخدام خماسية النقاط.
مزايا وعيوب خماسية النقاط
المزايا:
- البساطة: من السهل فهم وتنفيذ خماسية النقاط.
- الكفاءة: تتطلب خماسية النقاط عددًا قليلًا نسبيًا من العمليات الحسابية لكل نقطة شبكة.
- الاستقرار: غالبًا ما تكون الطرق العددية القائمة على خماسية النقاط مستقرة، خاصة لمعادلات لابلاس وبواسون.
العيوب:
- الدقة: دقة خماسية النقاط من الدرجة الثانية، مما يعني أن الخطأ يتناسب مع h^2. لتحقيق دقة عالية، يجب استخدام شبكات أصغر حجمًا، مما يزيد من التكلفة الحسابية.
- القيود الهندسية: خماسية النقاط مناسبة بشكل أساسي للشبكات التربيعية. بالنسبة للهندسة المعقدة، قد تكون هناك حاجة إلى طرق أكثر تعقيدًا.
- التعامل مع شروط الحدود: قد يكون التعامل مع شروط الحدود المعقدة أمرًا صعبًا باستخدام خماسية النقاط.
تحسينات على خماسية النقاط
هناك عدة طرق لتحسين دقة خماسية النقاط:
- خماسية النقاط عالية الدقة: يمكن اشتقاق طرق أعلى دقة باستخدام المزيد من النقاط في الشبكة. على سبيل المثال، يمكن استخدام تساعية النقاط (Nine-Point Stencil) لتحقيق دقة من الدرجة الرابعة.
- تكرار ريتشاردسون (Richardson Extrapolation): يمكن استخدام تكرار ريتشاردسون لتحسين دقة التقريب. تعتمد هذه الطريقة على إجراء حسابات باستخدام شبكتين مختلفتي الحجم ثم دمج النتائج للحصول على تقريب أكثر دقة.
- طرق العناصر المحدودة (Finite Element Methods): بالنسبة للهندسة المعقدة وشروط الحدود المعقدة، غالبًا ما تكون طرق العناصر المحدودة أكثر ملاءمة من خماسية النقاط.
اعتبارات عملية
عند استخدام خماسية النقاط في الممارسة العملية، من المهم مراعاة ما يلي:
- اختيار حجم الشبكة: يجب اختيار حجم الشبكة بعناية لتحقيق التوازن بين الدقة والتكلفة الحسابية.
- التعامل مع شروط الحدود: يجب تطبيق شروط الحدود بدقة للحصول على حل دقيق.
- التحقق من صحة الحل: يجب التحقق من صحة الحل باستخدام طرق أخرى، مثل الحلول التحليلية أو التجارب الفيزيائية.
بالإضافة إلى ذلك، من المهم اختيار طريقة حل مناسبة للنظام الناتج من المعادلات الخطية. يمكن استخدام طرق مباشرة مثل طريقة الحذف الغاوسي (Gaussian elimination) أو طرق تكرارية مثل طريقة جاكوبي أو طريقة غاوس-سايدل. تعتمد كفاءة كل طريقة على حجم النظام وخصائصه.
خاتمة
تعد خماسية النقاط أداة قوية وبسيطة لتقريب المشتقات الجزئية وحل المعادلات التفاضلية الجزئية عدديًا. على الرغم من أنها محدودة بالدقة والقيود الهندسية، إلا أنها لا تزال تستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات الهندسية والعلمية. من خلال فهم المزايا والعيوب والتحسينات المحتملة لخماسية النقاط، يمكن للمرء استخدامها بفعالية لحل مجموعة واسعة من المشكلات.