موتر الالتواء (Torsion Tensor)

مقدمة

في الهندسة التفاضلية، يعد مفهوم الالتواء طريقة لتوصيف التفاف أو دوران إطار متحرك حول منحنى. إنه مقياس لمدى “خروج” المنحنى من المستوى الذي يحتويه. بمعنى آخر، يصف الالتواء مدى سرعة تغيير متجه ثنائي التماس للمنحنى لاتجاهه.

يظهر موتر الالتواء بشكل خاص في سياق الاتصالات ذات الصلة في الهندسة الريمانية وشبه الريمانية، حيث يمثل فشلًا في التبديل بين المشتقات المتغيرة. على الرغم من أن الالتواء غالبًا ما يُفترض بأنه صفر في النسبية العامة القياسية، إلا أنه يلعب دورًا مهمًا في نظريات الجاذبية البديلة مثل نظرية أينشتاين-كارتان.

تعريف الالتواء

لتحديد موتر الالتواء، نحتاج أولاً إلى فهم مفهوم الاتصال. الاتصال هو عملية تحدد كيفية تفاضل الحقول المتجهة على طول المنحنيات في مشعب. لنفترض أن لدينا مشعبًا M مع اتصال ذي صلة ∇. ثم يتم تعريف موتر الالتواء T للاتصال ∇ على أنه:

T(X, Y) = ∇_XY – ∇_YX – [X, Y]

حيث X و Y هما حقلان متجهان على M، و [X, Y] هو قوس لي (Lie bracket) للحقلين المتجهين X و Y. قوس لي [X, Y] يعرف بأنه [X, Y] = XY – YX، ويمثل معدل تغير X على طول Y ناقص معدل تغير Y على طول X.

بشكل أساسي، يقيس موتر الالتواء الفرق بين أخذ المشتق المتغير لـ Y على طول X والمشتق المتغير لـ X على طول Y، مع مراعاة قوس لي. إذا كان موتر الالتواء صفرًا، فإن الاتصال يسمى اتصالًا خاليًا من الالتواء أو اتصالًا متماثلًا.

خصائص موتر الالتواء

يتمتع موتر الالتواء بعدة خصائص مهمة:

الخطية: موتر الالتواء خطي في كل من وسيطتيه:
- T(fX, Y) = fT(X, Y)
- T(X, fY) = fT(X, Y)
حيث f هي دالة سلسة.
الالتواء المتناوب: موتر الالتواء متناوب، مما يعني:
- T(X, Y) = -T(Y, X)
هذا يتبع مباشرة من تعريف الالتواء.
التحويل: موتر الالتواء هو موتر من النوع (1, 2)، مما يعني أنه يأخذ حقلين متجهين كمدخلات ويعطي حقلاً متجهًا كمخرج.

الالتواء في الهندسة الريمانية

في الهندسة الريمانية، نتعامل مع مشعبات ريمانية مزودة بمقياس ريماني. يُستخدم المقياس الريماني لتعريف اتصال ليفي-تشيفيتا (Levi-Civita connection)، وهو اتصال فريد من نوعه خالٍ من الالتواء ومتوافق مع المقياس. التوافق مع المقياس يعني أن المشتق المتغير للمقياس يساوي صفرًا.

نظرًا لأن اتصال ليفي-تشيفيتا خالٍ من الالتواء، فإن موتر الالتواء المرتبط بهذا الاتصال هو بالضرورة صفر. ومع ذلك، من الممكن تعريف اتصالات أخرى على مشعب ريماني قد يكون لها التواء غير صفري. هذه الاتصالات لا تتوافق عمومًا مع المقياس الريماني.

الالتواء في النسبية العامة ونظرية أينشتاين-كارتان

في النسبية العامة القياسية، يتم وصف الزمكان بمشعب لورنتزي، ويتم وصف الجاذبية بانحناء الزمكان. يتم استخدام اتصال ليفي-تشيفيتا لوصف كيفية تحرك الكائنات في الزمكان، وبافتراض أن الالتواء يساوي صفرًا. ومع ذلك، هناك نظريات جاذبية بديلة تتضمن الالتواء.

إحدى هذه النظريات هي نظرية أينشتاين-كارتان، التي تمدد النسبية العامة لتشمل الالتواء. في نظرية أينشتاين-كارتان، لا يرتبط الالتواء بالكثافة الزاوية للدوران للمادة. ونتيجة لذلك، يصبح الزمكان في نظرية أينشتاين-كارتان ليس فقط منحنياً ولكن أيضاً ملتويًا.

إن إدخال الالتواء في نظرية أينشتاين-كارتان له عدة نتائج مهمة. على سبيل المثال، يمنع تكوين التفردات في الثقوب السوداء والانفجار العظيم. كما أنه يؤدي إلى تفاعلات جديدة بين الدوران والجاذبية، والتي قد تكون قابلة للاختبار تجريبياً.

أمثلة على حساب الالتواء

مثال 1: مشعب مسطح مع إحداثيات ديكارتية

في المشعب المسطح مع إحداثيات ديكارتية، يكون الاتصال بسيطًا للغاية، ومشتقات الإحداثيات ثابتة. لذلك، تكون رموز كريستوفيل (Christoffel symbols) صفرية، وبالتالي فإن الالتواء أيضًا صفر. دعونا نتحقق من ذلك رياضيًا.

لنفترض أن لدينا حقلين متجهين X و Y في الإحداثيات الديكارتية: X = Xⁱ∂_i و Y = Yⁱ∂_i. في هذه الحالة، يكون قوس لي [X, Y] = (X^j∂_jYⁱ – Y^j∂_jXⁱ)∂_i. بما أن الاتصال هو مجرد مشتق عادي، فإن ∇_XY = X^j∂_jYⁱ∂_i و ∇_YX = Y^j∂_jXⁱ∂_i.

وبالتالي، T(X, Y) = ∇_XY – ∇_YX – [X, Y] = X^j∂_jYⁱ∂_i – Y^j∂_jXⁱ∂_i – (X^j∂_jYⁱ – Y^j∂_jXⁱ)∂_i = 0. وهذا يؤكد أن الالتواء صفر في مشعب مسطح مع إحداثيات ديكارتية.

مثال 2: اتصال غير متماثل

لنفترض أن لدينا مشعبًا ثنائي الأبعاد مع إحداثيات (x, y) ولدينا اتصال معرف برموز كريستوفيل التالية:

Γ¹₁₁ = 0, Γ¹₁₂ = 1, Γ¹₂₁ = 0, Γ¹₂₂ = 0

Γ²₁₁ = 0, Γ²₁₂ = 0, Γ²₂₁ = 0, Γ²₂₂ = 0

لاحظ أن هذا الاتصال ليس متماثلًا لأن Γ¹₁₂ ≠ Γ¹₂₁. لنحسب موتر الالتواء.

موتر الالتواء يعطى بـ T^a_bc = Γ^a_bc – Γ^a_cb. إذن، المكونات غير الصفرية لـ T هي:

T¹₁₂ = Γ¹₁₂ – Γ¹₂₁ = 1 – 0 = 1

T¹₂₁ = Γ¹₂₁ – Γ¹₁₂ = 0 – 1 = -1

جميع المكونات الأخرى لـ T هي صفر. هذا يدل على أن الاتصال لديه التواء غير صفري.

تطبيقات إضافية

في الفيزياء الفلكية: يمكن أن يكون للالتواء آثار في نماذج الثقوب الدودية أو في دراسة المراحل المبكرة من الكون.

في نظرية الأوتار: يظهر الالتواء في بعض الأوصاف للتدفقات في الخلفيات الهندسية لنظرية الأوتار.

خاتمة

موتر الالتواء هو مفهوم أساسي في الهندسة التفاضلية يصف “التواء” أو “دوران” الإطار المتحرك حول المنحنى. وهو يقيس فشل المشتقات المتغيرة في التبديل. في حين أن الالتواء غالبًا ما يُفترض بأنه صفر في النسبية العامة القياسية، إلا أنه يلعب دورًا مهمًا في نظريات الجاذبية البديلة مثل نظرية أينشتاين-كارتان. فهم الالتواء ضروري لاستكشاف جوانب أعمق من الهندسة والفيزياء، بما في ذلك الجاذبية ونظرية الأوتار.