<![CDATA[
مقدمة إلى اللاغرانجيان
قبل الخوض في تفاصيل اللاغرانجيان غير الموضعي، من المهم فهم مفهوم اللاغرانجيان نفسه. في الفيزياء، اللاغرانجيان هو دالة تصف الحالة الديناميكية لنظام فيزيائي. يتم تعريفه عادةً على أنه الفرق بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة للنظام. يلعب اللاغرانجيان دورًا مركزيًا في صياغة ميكانيكا لاغرانج، وهي طريقة بديلة لصياغة الميكانيكا الكلاسيكية مقارنة بميكانيكا نيوتن.
ميكانيكا لاغرانج تعتمد على مبدأ الفعل الأدنى، الذي ينص على أن النظام الفيزيائي سيتطور على طول المسار الذي يقلل من “الفعل”. الفعل هو تكامل اللاغرانجيان بمرور الوقت. باستخدام حساب التفاضل والتكامل، يمكن اشتقاق معادلات الحركة للنظام من اللاغرانجيان. هذه المعادلات، المعروفة باسم معادلات أويلر-لاغرانج، توفر طريقة قوية وفعالة لوصف تطور الأنظمة الفيزيائية المعقدة.
في نظرية الحقول، يتم تعميم مفهوم اللاغرانجيان لوصف الحقول الفيزيائية، مثل المجال الكهرومغناطيسي أو مجال ديراك الذي يصف الإلكترونات. بدلاً من دالة تعتمد على عدد قليل من الإحداثيات، يصبح اللاغرانجيان كثافة لاغرانج، وهي دالة تعتمد على الحقول ومشتقاتها في كل نقطة في الزمكان. تكامل كثافة لاغرانج على الزمكان يعطي الفعل، الذي يجب تقليله للحصول على معادلات حركة الحقول.
اللاغرانجيان الموضعي مقابل اللاغرانجيان غير الموضعي
الفرق الحاسم بين اللاغرانجيان الموضعي واللاغرانجيان غير الموضعي يكمن في اعتماديته على الحقول في نقاط مختلفة في الزمكان. في اللاغرانجيان الموضعي، تعتمد كثافة لاغرانج في نقطة معينة فقط على قيم الحقول ومشتقاتها في تلك النقطة. رياضياً، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:
L(x) = L(φ(x), ∂μφ(x))
حيث L(x) هي كثافة لاغرانج في النقطة x، φ(x) هي الحقول في النقطة x، و ∂μφ(x) هي مشتقات الحقول في النقطة x. هذا يعني أن التفاعل بين الحقول يتم بواسطة تفاعلات موضعية تحدث في نفس النقطة في الزمكان.
في المقابل، في اللاغرانجيان غير الموضعي، تعتمد كثافة لاغرانج في نقطة معينة على قيم الحقول في نقاط أخرى. يمكن التعبير عن ذلك رياضياً على النحو التالي:
L(x) = L(φ(x), ∂μφ(x), ∫dy K(x, y) φ(y))
حيث K(x, y) هي دالة النواة التي تحدد كيفية تأثير قيمة الحقل في النقطة y على كثافة لاغرانج في النقطة x. يشير التكامل على y إلى أن كثافة لاغرانج في النقطة x تعتمد على قيم الحقول في جميع النقاط الأخرى في الزمكان، ولكن بوزن مختلف تحدده دالة النواة K(x, y).
وجود دالة النواة K(x, y) هو ما يميز اللاغرانجيان غير الموضعي. هذه الدالة تحدد مدى تأثير النقاط المختلفة في الزمكان على بعضها البعض. إذا كانت دالة النواة ضيقة حول x = y، فهذا يعني أن التفاعلات موضعية تقريبًا. ومع ذلك، إذا كانت دالة النواة واسعة أو تحتوي على هياكل معقدة، فهذا يعني أن التفاعلات غير موضعية بشكل كبير.
أمثلة على اللاغرانجيان غير الموضعي
تظهر اللاغرانجيانات غير الموضعية في مجموعة متنوعة من السياقات الفيزيائية، بما في ذلك:
- نظريات الجاذبية المعدلة: في بعض نظريات الجاذبية المعدلة، يتم استبدال لاغرانجيان أينشتاين-هيلبرت القياسي بلاغرانجيان غير موضعي. الهدف من ذلك هو حل بعض المشكلات التي تواجه نظرية النسبية العامة، مثل مشكلة الطاقة المظلمة أو مشكلة التفردات في الثقوب السوداء.
- نظرية الأوتار: تظهر اللاغرانجيانات غير الموضعية بشكل طبيعي في نظرية الأوتار. نظرًا لأن الأوتار ليست جسيمات نقطية، فإن تفاعلاتها ليست موضعية تمامًا. يمكن وصف هذه التفاعلات بلاغرانجيانات غير موضعية.
- نماذج تكثيف بوز-أينشتاين غير الموضعية: في فيزياء المادة المكثفة، تستخدم اللاغرانجيانات غير الموضعية لوصف أنظمة تكثيف بوز-أينشتاين حيث تكون التفاعلات بين الجسيمات غير موضعية.
- نماذج فيزيائية حيوية: في بعض النماذج الفيزيائية الحيوية، تُستخدم اللاغرانجيانات غير الموضعية لتمثيل التفاعلات طويلة المدى بين الجزيئات الحيوية.
تحديات ومشاكل اللاغرانجيان غير الموضعي
على الرغم من أن اللاغرانجيانات غير الموضعية يمكن أن تكون مفيدة في وصف مجموعة واسعة من الظواهر الفيزيائية، إلا أنها تطرح أيضًا عددًا من التحديات والمشاكل:
- الكمية: أحد أكبر التحديات هو كمية النظريات التي تعتمد على اللاغرانجيانات غير الموضعية. نظرًا لأن التفاعلات غير موضعية، فقد يكون من الصعب تحديد القواعد المناسبة لحساب العمليات الكمومية.
- السببية: في بعض الحالات، يمكن أن تؤدي اللاغرانجيانات غير الموضعية إلى انتهاكات للسببية. هذا يعني أن التأثير يمكن أن يسبق السبب، وهو أمر غير مقبول من الناحية الفيزيائية.
- الوحدة: الوحدة هي شرط أساسي للنظريات الفيزيائية الكمومية. تتطلب الوحدة أن يكون مجموع احتمالات جميع النتائج المحتملة لعملية فيزيائية يساوي واحدًا. قد يكون من الصعب ضمان الوحدة في النظريات التي تعتمد على اللاغرانجيانات غير الموضعية.
- الحسابات: غالبًا ما تكون الحسابات في النظريات التي تعتمد على اللاغرانجيانات غير الموضعية أكثر صعوبة وتعقيدًا من الحسابات في النظريات الموضعية.
أهمية اللاغرانجيان غير الموضعي
على الرغم من التحديات والمشاكل المرتبطة باللاغرانجيانات غير الموضعية، إلا أنها تظل أداة مهمة في الفيزياء النظرية. توفر اللاغرانجيانات غير الموضعية طريقة لوصف الظواهر الفيزيائية التي لا يمكن وصفها بشكل كافٍ باستخدام النظريات الموضعية. علاوة على ذلك، يمكن أن تساعد اللاغرانجيانات غير الموضعية في حل بعض المشكلات التي تواجه النظريات الفيزيائية القياسية، مثل مشكلة الطاقة المظلمة أو مشكلة التفردات في الثقوب السوداء.
إن فهم اللاغرانجيان غير الموضعي ضروري لفهم العديد من النظريات الفيزيائية الحديثة، وخاصة في مجالات نظرية الحقول الكمومية، والجاذبية المعدلة، ونظرية الأوتار. البحث المستمر في هذا المجال يهدف إلى تطوير أدوات رياضية وفيزيائية جديدة للتعامل مع هذه النظريات المعقدة، وبالتالي فتح آفاق جديدة لفهم الكون.
خاتمة
اللاغرانجيان غير الموضعي هو تعميم لمفهوم اللاغرانجيان القياسي الذي يسمح بالتفاعلات غير الموضعية بين الحقول. على الرغم من أنه يطرح عددًا من التحديات والمشاكل، إلا أنه يظل أداة مهمة في الفيزياء النظرية. تظهر اللاغرانجيانات غير الموضعية في مجموعة متنوعة من السياقات الفيزيائية، بما في ذلك نظريات الجاذبية المعدلة، ونظرية الأوتار، ونماذج تكثيف بوز-أينشتاين غير الموضعية، ونماذج فيزيائية حيوية. البحث المستمر في هذا المجال يهدف إلى تطوير أدوات رياضية وفيزيائية جديدة للتعامل مع هذه النظريات المعقدة.
المراجع
- Nonlocal Field Theory – Wikipedia
- Tomboulis, E. T. (2005). Super-renormalizable gauge and gravitational theories. *arXiv preprint hep-th/0506153*.
- Modesto, L. (2012). Super-renormalizable Quantum Gravity. *Physics Letters B*, *705*(5), 439-444.
- Briscese, L., Modesto, L., & Myrzakulov, R. (2014). Stability of Inflation in Non-Local Gravity. *Physical Review D*, *89*(6), 064036.