طريقة القطع الناقص (Ellipsoid Method)

مقدمة تاريخية

تم تطوير طريقة القطع الناقص في الأصل بواسطة ديفيد يودين، وأركادي نيميوفسكي، وليونيد تراوب في السبعينيات بهدف حل مشاكل البرمجة الخطية. وقد أثبت ليونيد خاشيان في عام 1979 أن هذه الطريقة يمكن أن تحل مسائل البرمجة الخطية في وقت زمني متعدد الحدود، مما أدى إلى اهتمام كبير بها في ذلك الوقت. ومع ذلك، سرعان ما تبين أن طريقة سيمبلكس، على الرغم من عدم وجود ضمانات متعددة الحدود، غالبًا ما تكون أسرع في الممارسة العملية.

المبادئ الأساسية

تعتمد طريقة القطع الناقص على فكرة احتواء المنطقة التي تحتوي على الحل الأمثل داخل قطع ناقص. في كل تكرار، يتم تحديد مركز القطع الناقص الحالي. إذا كان هذا المركز يمثل حلاً مقبولاً، يتم التوقف. وإذا لم يكن كذلك، يتم استخدام معلومات حول الدالة الهدف لتحديد قطع ناقص أصغر يحتوي أيضًا على الحل الأمثل. تستمر هذه العملية التكرارية حتى يتم الوصول إلى حل مقبول أو يتم استيفاء معايير توقف أخرى.

وصف الخوارزمية

لنفترض أن لدينا دالة محدبة f(x) نريد تقليلها. تتبع طريقة القطع الناقص الخطوات التالية:

1. التهيئة: ابدأ بقطع ناقص أولي كبير بما يكفي لاحتواء الحل الأمثل (أو بافتراض أنه يحتوي عليه). حدد مركز هذا القطع الناقص وليكن x₀، ومصفوفة تحدد شكل وحجم القطع الناقص، وليكن A₀.
2. التكرار:
   • التحقق من الحل: تحقق مما إذا كان x_k (مركز القطع الناقص في التكرار k) يمثل حلاً مقبولاً. إذا كان كذلك، توقف.
   • إيجاد مستوى الفصل: إذا لم يكن x_k حلاً مقبولاً، أوجد مستوى فصل يفصل x_k عن الحل الأمثل. يمكن القيام بذلك عن طريق حساب متجه التدرج للدالة f(x) عند x_k، وليكن g_k.
   • تحديث القطع الناقص: قم بتحديث مركز وشكل القطع الناقص باستخدام المعادلات التالية:
     • x_k+1 = x_k – (1/(n+1)) * A_k * g_k / sqrt(g_k^T * A_k * g_k)
     • A_k+1 = (n²/(n²-1)) * (A_k – (2/(n+1)) * (A_k * g_k * g_k^T * A_k) / (g_k^T * A_k * g_k))

     حيث n هو أبعاد المشكلة (عدد المتغيرات).

3. التوقف: استمر في التكرار حتى يتم الوصول إلى حل مقبول أو يتم استيفاء معايير توقف أخرى (مثل الوصول إلى الحد الأقصى لعدد التكرارات أو الوصول إلى دقة معينة).

الخصائص

تتميز طريقة القطع الناقص بالعديد من الخصائص الهامة:

• ضمان متعدد الحدود: تضمن طريقة القطع الناقص حل مسائل البرمجة الخطية في وقت زمني متعدد الحدود، مما يعني أن وقت الحساب ينمو بشكل متعدد الحدود مع حجم المشكلة. هذا يختلف عن طريقة سيمبلكس، التي لا يوجد لديها ضمان متعدد الحدود في أسوأ الحالات.
• التقارب: تتقارب طريقة القطع الناقص نحو الحل الأمثل، ولكن معدل التقارب قد يكون بطيئًا في بعض الحالات.
• التطبيق على الدوال المحدبة: يمكن تطبيق طريقة القطع الناقص على مجموعة واسعة من الدوال المحدبة، مما يجعلها أداة قوية لحل مشاكل التحسين.

المزايا والعيوب

تتمتع طريقة القطع الناقص بمزايا وعيوب مقارنة بالطرق الأخرى لحل مشاكل التحسين:

المزايا:

• ضمان متعدد الحدود: كما ذكرنا سابقًا، تضمن طريقة القطع الناقص وقتًا زمنيًا متعدد الحدود، وهو أمر مهم للمشاكل الكبيرة.
• القدرة على التعامل مع الدوال غير القابلة للتفاضل: يمكن تطبيق طريقة القطع الناقص على الدوال المحدبة التي ليست بالضرورة قابلة للتفاضل، مما يجعلها أكثر مرونة من بعض الطرق الأخرى.

العيوب:

• بطء التقارب في الممارسة العملية: على الرغم من ضمانها متعدد الحدود، غالبًا ما تكون طريقة القطع الناقص أبطأ من طريقة سيمبلكس في الممارسة العملية، خاصة بالنسبة للمشاكل الصغيرة والمتوسطة الحجم.
• الحساسية لظروف المشكلة: يمكن أن تكون طريقة القطع الناقص حساسة لظروف المشكلة، مثل شكل الدالة الهدف والقيود.

التطبيقات

تُستخدم طريقة القطع الناقص في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك:

• البرمجة الخطية: على الرغم من أنها ليست الطريقة الأكثر شيوعًا في الممارسة العملية، إلا أن طريقة القطع الناقص ذات أهمية تاريخية لأنها أظهرت أن مسائل البرمجة الخطية قابلة للحل في وقت زمني متعدد الحدود.
• التحسين المحدب: يمكن استخدام طريقة القطع الناقص لحل مجموعة واسعة من مشاكل التحسين المحدب، بما في ذلك مشاكل التحسين غير الخطية.
• التعلم الآلي: يمكن استخدام طريقة القطع الناقص في بعض خوارزميات التعلم الآلي، مثل آلات المتجهات الداعمة.
• نظرية الألعاب: يمكن استخدام طريقة القطع الناقص لحساب استراتيجيات ناش المتوازنة في بعض أنواع الألعاب.

طريقة القطع الناقص العميقة

تم تطوير نسخة أكثر كفاءة من طريقة القطع الناقص تُعرف باسم طريقة القطع الناقص العميقة. تستخدم هذه الطريقة معلومات إضافية حول الدالة الهدف لتسريع التقارب. بدلاً من مجرد استخدام متجه التدرج لتحديد مستوى الفصل، تستخدم طريقة القطع الناقص العميقة معلومات حول انحناء الدالة الهدف. يمكن أن يؤدي ذلك إلى تقارب أسرع بكثير في بعض الحالات.

مثال توضيحي

لنفترض أننا نريد تقليل الدالة f(x) = x₁² + x₂² باستخدام طريقة القطع الناقص. هذه دالة محدبة بسيطة ذات حل أمثل عند x = (0, 0).

التهيئة: نبدأ بقطع ناقص أولي كبير بما يكفي لاحتواء الحل الأمثل. على سبيل المثال، يمكننا أن نختار x₀ = (1, 1) و A₀ = [[1, 0], [0, 1]].

التكرار: في كل تكرار، نحسب متجه التدرج للدالة f(x) عند x_k. في هذا المثال، ∇f(x) = (2x₁, 2x₂).

ثم نقوم بتحديث مركز وشكل القطع الناقص باستخدام المعادلات المذكورة أعلاه. نستمر في هذه العملية التكرارية حتى نصل إلى حل مقبول أو يتم استيفاء معايير توقف أخرى.

في هذا المثال البسيط، ستتقارب طريقة القطع الناقص بسرعة نسبيًا نحو الحل الأمثل x = (0, 0).

الاعتبارات العملية

عند تطبيق طريقة القطع الناقص في الممارسة العملية، هناك بعض الاعتبارات التي يجب أخذها في الاعتبار:

• اختيار القطع الناقص الأولي: يمكن أن يؤثر اختيار القطع الناقص الأولي على أداء الخوارزمية. من المهم اختيار قطع ناقص كبير بما يكفي لاحتواء الحل الأمثل، ولكن ليس كبيرًا جدًا بحيث يتباطأ التقارب.
• معايير التوقف: من المهم تحديد معايير توقف مناسبة للخوارزمية. يمكن أن تشمل هذه المعايير الوصول إلى الحد الأقصى لعدد التكرارات أو الوصول إلى دقة معينة.
• التحجيم: يمكن أن يؤثر تحجيم المشكلة على أداء طريقة القطع الناقص. من المهم التأكد من أن المتغيرات ذات نطاقات مماثلة من القيم.

خاتمة

طريقة القطع الناقص هي خوارزمية مهمة في مجال التحسين الرياضي، خاصةً فيما يتعلق بحل مشاكل البرمجة الخطية والتحسين المحدب. على الرغم من أنها ليست دائمًا الأسرع في الممارسة العملية، إلا أنها تتميز بضمانها متعدد الحدود، مما يجعلها أداة قيمة للمشاكل الكبيرة والمعقدة. بالإضافة إلى ذلك، فإن قدرتها على التعامل مع الدوال غير القابلة للتفاضل تزيد من مرونتها وتطبيقاتها المتنوعة.

المراجع

• Ellipsoid Method – Northwestern University
• The Ellipsoid Algorithm – University of Waterloo
• The Ellipsoid Method – MIT OpenCourseWare
• Linear Programming: The Ellipsoid Method – Princeton University