مقدمة
في الرياضيات والإحصاء، يُعد المتوسط الحسابي، المعروف أيضًا بـ المعدل الحسابي، أو ببساطة المتوسط (عندما يكون السياق واضحًا)، مقياسًا للنزعة المركزية لمجموعة من الأرقام. يُحسب عن طريق جمع كل القيم في المجموعة ثم قسمة الناتج على عدد القيم.
يُستخدم المتوسط الحسابي على نطاق واسع في مختلف المجالات، من الحياة اليومية إلى العلوم والهندسة. فهو يوفر طريقة سهلة ومباشرة لتلخيص مجموعة من البيانات برقم واحد يمثل القيمة “النموذجية” أو “المتوقعة”. على سبيل المثال، يمكن استخدامه لحساب متوسط درجات الطلاب في اختبار، أو متوسط دخل الأسرة في مدينة ما، أو متوسط درجة الحرارة اليومية خلال شهر.
على الرغم من بساطته وفعاليته، من المهم أن ندرك أن المتوسط الحسابي قد يكون عرضة للتأثر بالقيم المتطرفة (القيم الكبيرة أو الصغيرة جدًا) في المجموعة. في مثل هذه الحالات، قد يكون من الأنسب استخدام مقاييس أخرى للنزعة المركزية، مثل الوسيط أو المنوال.
تعريف المتوسط الحسابي
يُعرَّف المتوسط الحسابي لمجموعة من الأرقام بأنه مجموع هذه الأرقام مقسومًا على عددها. رياضيًا، إذا كانت لدينا مجموعة من الأرقام {x1, x2, …, xn}، فإن المتوسط الحسابي (μ) يُحسب على النحو التالي:
μ = (x1 + x2 + … + xn) / n
حيث:
- μ: المتوسط الحسابي
- xi: القيمة i في المجموعة
- n: عدد القيم في المجموعة
مثال: لحساب المتوسط الحسابي للأرقام {2, 4, 6, 8, 10}، نجمع الأرقام (2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30) ثم نقسم على عددها (5). وبالتالي، فإن المتوسط الحسابي هو 30 / 5 = 6.
خصائص المتوسط الحسابي
يتمتع المتوسط الحسابي بعدة خصائص تجعله أداة مفيدة في التحليل الإحصائي:
- الجمعية: مجموع الانحرافات عن المتوسط الحسابي يساوي صفرًا. بمعنى آخر، إذا طرحنا المتوسط الحسابي من كل قيمة في المجموعة، فإن مجموع النتائج سيكون صفرًا.
- الحساسية للقيم المتطرفة: يتأثر المتوسط الحسابي بالقيم المتطرفة. إذا كانت هناك قيم كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا في المجموعة، فإنها ستؤثر بشكل كبير على قيمة المتوسط الحسابي.
- التمثيل: يمثل المتوسط الحسابي القيمة “النموذجية” أو “المتوقعة” للمجموعة. إنه نقطة التوازن في البيانات.
- الاستقرار: يعتبر المتوسط الحسابي مقياسًا مستقرًا للنزعة المركزية، خاصة عندما يكون حجم العينة كبيرًا.
حساب المتوسط الحسابي للبيانات المبوبة
في بعض الحالات، قد تكون البيانات معروضة في شكل جدول تكراري، حيث يتم تجميع القيم في فئات. لحساب المتوسط الحسابي للبيانات المبوبة، نتبع الخطوات التالية:
- إيجاد مركز الفئة (نقطة المنتصف) لكل فئة.
- ضرب مركز الفئة في التكرار المقابل لها.
- جمع حاصل ضرب مركز الفئة في التكرار لجميع الفئات.
- قسمة الناتج على مجموع التكرارات (أي حجم العينة).
رياضيًا، إذا كانت لدينا k فئة، حيث fi هو تكرار الفئة i و xi هو مركز الفئة i، فإن المتوسط الحسابي للبيانات المبوبة (μ) يُحسب على النحو التالي:
μ = (f1x1 + f2x2 + … + fkxk) / (f1 + f2 + … + fk)
مثال: لنفترض أن لدينا البيانات التالية حول توزيع أجور العمال في مصنع:
| الفئة (الأجور) | التكرار (عدد العمال) |
|---|---|
| 2000-3000 | 10 |
| 3000-4000 | 20 |
| 4000-5000 | 30 |
| 5000-6000 | 15 |
| 6000-7000 | 5 |
لحساب المتوسط الحسابي، نتبع الخطوات المذكورة أعلاه:
- مركز الفئة الأولى: (2000 + 3000) / 2 = 2500
- مركز الفئة الثانية: (3000 + 4000) / 2 = 3500
- مركز الفئة الثالثة: (4000 + 5000) / 2 = 4500
- مركز الفئة الرابعة: (5000 + 6000) / 2 = 5500
- مركز الفئة الخامسة: (6000 + 7000) / 2 = 6500
ثم نحسب مجموع حاصل ضرب مركز الفئة في التكرار:
(10 * 2500) + (20 * 3500) + (30 * 4500) + (15 * 5500) + (5 * 6500) = 25000 + 70000 + 135000 + 82500 + 32500 = 345000
وأخيرًا، نقسم على مجموع التكرارات (10 + 20 + 30 + 15 + 5 = 80):
μ = 345000 / 80 = 4312.5
إذًا، المتوسط الحسابي لأجور العمال في المصنع هو 4312.5 وحدة نقدية.
المتوسط الحسابي الموزون
المتوسط الحسابي الموزون هو نوع خاص من المتوسط الحسابي حيث يتم إعطاء أوزان مختلفة للقيم المختلفة. تُستخدم هذه الأوزان لتعكس الأهمية النسبية لكل قيمة في المجموعة.
رياضيًا، إذا كانت لدينا مجموعة من الأرقام {x1, x2, …, xn} والأوزان المقابلة لها {w1, w2, …, wn}، فإن المتوسط الحسابي الموزون (μw) يُحسب على النحو التالي:
μw = (w1x1 + w2x2 + … + wnxn) / (w1 + w2 + … + wn)
مثال: لنفترض أن طالبًا حصل على الدرجات التالية في ثلاثة اختبارات: 80، 90، و 70. إذا كانت الاختبارات تحمل الأوزان 20٪، 30٪، و 50٪ على التوالي، فإن المتوسط الحسابي الموزون لدرجات الطالب يُحسب على النحو التالي:
μw = (0.20 * 80) + (0.30 * 90) + (0.50 * 70) = 16 + 27 + 35 = 78
إذًا، المتوسط الحسابي الموزون لدرجات الطالب هو 78.
تطبيقات المتوسط الحسابي
للمتوسط الحسابي تطبيقات واسعة النطاق في مختلف المجالات، بما في ذلك:
- التعليم: حساب متوسط درجات الطلاب، وتقييم أداء الطلاب.
- المالية: حساب متوسط عائد الاستثمار، وتقييم أداء المحافظ الاستثمارية.
- الاقتصاد: حساب متوسط دخل الفرد، وتحليل التغيرات في الأسعار.
- الهندسة: حساب متوسط الأبعاد، وتقييم دقة القياسات.
- العلوم: حساب متوسط النتائج التجريبية، وتحليل البيانات العلمية.
- الرياضة: حساب متوسط النقاط المسجلة، وتحليل أداء اللاعبين.
مزايا وعيوب المتوسط الحسابي
مزايا:
- سهولة الحساب والفهم.
- يستخدم جميع القيم في المجموعة.
- يعتبر مقياسًا مستقرًا للنزعة المركزية (خاصة عندما يكون حجم العينة كبيرًا).
عيوب:
- يتأثر بالقيم المتطرفة.
- قد لا يكون تمثيلاً جيدًا للبيانات إذا كانت البيانات منحرفة بشدة.
- قد لا يكون مناسبًا للبيانات الاسمية أو الترتيبية.
بدائل للمتوسط الحسابي
عندما يكون المتوسط الحسابي غير مناسب، يمكن استخدام مقاييس أخرى للنزعة المركزية، مثل:
- الوسيط: القيمة الوسطى في المجموعة المرتبة.
- المنوال: القيمة الأكثر تكرارًا في المجموعة.
- المتوسط الهندسي: الجذر النوني لحاصل ضرب القيم في المجموعة.
- المتوسط التوافقي: مقلوب متوسط مقالب القيم في المجموعة.
خاتمة
المتوسط الحسابي هو مقياس أساسي للنزعة المركزية يستخدم على نطاق واسع في مختلف المجالات. على الرغم من بساطته وفعاليته، من المهم أن ندرك حدوده وأن نستخدمه بحذر، خاصة عند التعامل مع البيانات التي تحتوي على قيم متطرفة أو بيانات منحرفة بشدة. في مثل هذه الحالات، قد يكون من الأنسب استخدام مقاييس أخرى للنزعة المركزية.