تعريف متشعب ليفشيتز
لتكن (M, ω) متشعبًا سيمبلكتيًا مغلقًا ذو بعد 2n. يقال أن (M, ω) هو متشعب ليفشيتز إذا كان ضرب كوب بواسطة قوة كافية من الشكل السيمبلكتي ω يحقق تماثل ليفشيتز. بعبارة أكثر دقة، إذا كان المؤثر:
L: Hk(M; ℝ) → Hk+2(M; ℝ)
معرفًا بـ:
L(α) = α ∧ ω,
فإن (M, ω) هو متشعب ليفشيتز إذا كان:
Ln-k: Hk(M; ℝ) → H2n-k(M; ℝ)
تماثلًا لكل k ≤ n.
أمثلة على متشعبات ليفشيتز
تشمل الأمثلة على متشعبات ليفشيتز ما يلي:
- المتشعبات Kähler: أي متشعب Kähler هو متشعب ليفشيتز. هذا نتيجة أساسية في الهندسة Kählerية.
- فضاءات الإسقاط المعقدة: الفضاء الإسقاطي المعقد ℂPn مزودًا بالشكل Kähler القياسي هو متشعب ليفشيتز.
- المتشعبات الجبرية الإسقاطية: أي متشعب جبري إسقاطي غير مفرد هو متشعب Kähler وبالتالي فهو متشعب ليفشيتز.
- الحواصل القسمية السيمبلكتية: تحت شروط معينة، يمكن للحواصل القسمية السيمبلكتية أن ترث هيكل ليفشيتز.
أهمية متشعبات ليفشيتز
تلعب متشعبات ليفشيتز دورًا مهمًا في عدة مجالات من الرياضيات، بما في ذلك:
- الهندسة السيمبلكتية: توفر متشعبات ليفشيتز فئة طبيعية وهامة من المتشعبات السيمبلكتية التي غالبًا ما تكون أسهل في التعامل معها من المتشعبات السيمبلكتية العامة.
- نظرية هودج: ترتبط متشعبات ليفشيتز ارتباطًا وثيقًا بنظرية هودج، والتي تدرس بنية التجانس للمتشعبات المعقدة.
- الفيزياء الرياضية: تظهر متشعبات ليفشيتز في سياقات مختلفة في الفيزياء الرياضية، مثل نظرية الأوتار ونظرية الحقل الطوبولوجي.
خواص تجانس متشعبات ليفشيتز
تتمتع متشعبات ليفشيتز ببعض الخواص التجانسية الهامة. على سبيل المثال، تحقق تجانسها علاقات هودج-ريمان. تحدد هذه العلاقات علاقات إيجابية محددة بين أجزاء مختلفة من تجانس المتشعب. تلعب علاقات هودج-ريمان دورًا حاسمًا في نظرية هودج وتطبيقاتها.
علاوة على ذلك، تمتلك متشعبات ليفشيتز تحلل ليفشيتز. يعطي هذا التحلل طريقة لكتابة أي فئة تجانس على أنها مجموع لفئات ليفشيتز بدائية. فئة التجانس البدائية هي فئة تقع في kernel لمؤثر ليفشيتز.
يُعطى تحلل ليفشيتز بالعلاقة:
Hk(M; ℝ) = ⊕q≥max(0,k-n) LqPk-2q(M; ℝ)
حيث Pk-2q(M; ℝ) هي فضاء الفئات البدائية من الدرجة k-2q.
متشعبات Kähler ومتشعبات ليفشيتز
كما ذكرنا سابقًا، فإن أي متشعب Kähler هو متشعب ليفشيتز. ومع ذلك، فإن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. هناك متشعبات سيمبلكتية هي متشعبات ليفشيتز ولكنها لا تقبل هيكل Kähler. يوفر هذا مثالًا على أن فئة متشعبات ليفشيتز أوسع من فئة متشعبات Kähler.
تتيح حقيقة أن متشعبات Kähler هي متشعبات ليفشيتز استخدام الأدوات والتقنيات من نظرية Kähler لدراسة تجانس هذه المتشعبات. على سبيل المثال، يمكن استخدام نظرية هودج لحساب تجانس متشعب Kähler.
تعميمات متشعبات ليفشيتز
هناك عدة تعميمات لمفهوم متشعب ليفشيتز. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يعرف متشعبات ليفشيتز الضعيفة. هذه هي المتشعبات السيمبلكتية التي لا تحقق بالضرورة تماثل ليفشيتز، ولكنها لا تزال تحقق بعض الشروط التجانسية الأضعف.
تعميم آخر هو مفهوم زوج ليفشيتز. زوج ليفشيتز هو زوج من المتشعبات السيمبلكتية (M, N) مع تشكيل سيمبلكتي على M × N الذي يحقق تماثل ليفشيتز. أزواج ليفشيتز لها تطبيقات في نظرية التمثيل والهندسة الرياضية.
تطبيقات في الهندسة السيمبلكتية
تجد متشعبات ليفشيتز تطبيقات كبيرة في الهندسة السيمبلكتية. وهي توفر إطارًا لدراسة بنية التجانس للمتشعبات السيمبلكتية وتسمح لنا بتعميم النتائج من الهندسة Kählerية إلى الإعداد السيمبلكتي.
على سبيل المثال، يمكن استخدام متشعبات ليفشيتز لإثبات النتائج حول تجانس المتشعبات السيمبلكتية. على وجه الخصوص، يمكن للمرء أن يثبت أن تجانس متشعب ليفشيتز يفي ببعض العلاقات الإيجابية المحددة. يمكن استخدام هذه العلاقات لحساب تجانس المتشعب والتحقيق في بنيته الطوبولوجية.
علاوة على ذلك، تلعب متشعبات ليفشيتز دورًا في دراسة التبسيط السيمبلكتي. التبسيط السيمبلكتي هو عملية تقطيع متشعب سيمبلكتي إلى قطع أصغر وأبسط. يمكن استخدام متشعبات ليفشيتز لإنشاء تبسيطات سيمبلكتية وتحديد الخصائص الطوبولوجية للمتشعب الأصلي.
تطبيقات في الفيزياء الرياضية
تظهر متشعبات ليفشيتز في سياقات مختلفة في الفيزياء الرياضية. على سبيل المثال، تظهر في نظرية الأوتار، حيث تصف هندسة الفضاء الهدف لنموذج الأوتار. في نظرية الأوتار الطوبولوجية، تلعب متشعبات ليفشيتز دورًا في فهم الطوبولوجيا للمساحات المعيارية للخرائط الهولومورفية.
علاوة على ذلك، تظهر متشعبات ليفشيتز في دراسة نظريات الحقل الطوبولوجي. نظريات الحقل الطوبولوجي هي نظريات حقل كمومي غير حساسة لتشوهات القياس. يمكن استخدام متشعبات ليفشيتز لبناء نظريات حقل طوبولوجي ودراسة خصائصها الرياضية.
خاتمة
متشعبات ليفشيتز هي نوع هام من المتشعبات السيمبلكتية التي تشترك في خاصية تجانسية معينة. وهي تلعب دورًا هامًا في الهندسة السيمبلكتية ونظرية هودج والفيزياء الرياضية. ترتبط متشعبات Kähler ارتباطًا وثيقًا بمتشعبات ليفشيتز، وهي توفر إطارًا لدراسة بنية التجانس للمتشعبات السيمبلكتية. من خلال خصائصها الفريدة وتطبيقاتها المتنوعة، تظل متشعبات ليفشيتز موضوعًا ذا أهمية كبيرة في البحث الرياضي.