<![CDATA[
تعريف جبر لي الثنائي
جبر لي الثنائي هو فضاء متجهي {\mathfrak {g}} على حقل F مع عمليتي ضرب: عملية ضرب جبر لي [,]: {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} \rightarrow {\mathfrak {g}} وعملية ضرب جبر لي مرافق \delta: {\mathfrak {g}} \rightarrow {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}}. هاتان العمليتان تحققان البديهيات التالية:
- ({\mathfrak {g}}, [,]) هو جبر لي. هذا يعني أن عملية الضرب تحقق خاصية التبادلية المقلوبة: [x, y] = -[y, x]، وهوية جاكوبي: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.
- ({\mathfrak {g}}, \delta) هو جبر لي مرافق. هذا يعني أن \delta تحقق خاصية التبادلية المقلوبة: \delta(x) = – \tau (\delta(x)) حيث \tau: {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} \rightarrow {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} هي عملية التبديل \tau(x \otimes y) = y \otimes x، وهوية جاكوبي المرافقة: (\delta \otimes id)\delta + (id \otimes \delta)\delta \circ \sigma + (\sigma \otimes id)\delta \circ \sigma = 0 حيث \sigma: {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} \rightarrow {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} هي عملية التبديل الدائري \sigma(x \otimes y) = y \otimes x.
- شرط التوافق: \delta([x, y]) = (ad_x \otimes 1 + 1 \otimes ad_x)\delta(y) – (ad_y \otimes 1 + 1 \otimes ad_y)\delta(x) حيث ad_x(y) = [x, y] هو التمثيل المرافق.
بشكل مكافئ، يمكن تعريف جبر لي الثنائي على أنه جبر لي {\mathfrak {g}} مع خريطة خطية \delta: {\mathfrak {g}} \rightarrow {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} بحيث تحقق \delta^*: {\mathfrak {g}}^* \otimes {\mathfrak {g}}^* \rightarrow {\mathfrak {g}}^* (النقل المزدوج لـ \delta) هيكل جبر لي على الفضاء المزدوج {\mathfrak {g}}^* و \delta هي 1-دورة بالنسبة لـ {\mathfrak {g}} ذات قيم في {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}}، أي:
\delta([x, y]) = ad_x(\delta(y)) – ad_y(\delta(x))
حيث x, y \in {\mathfrak {g}}.
أمثلة على جبر لي الثنائي
جبر لي الأبلي: إذا كان {\mathfrak {g}} جبر لي أبلي (أي أن [x, y] = 0 لجميع x, y \in {\mathfrak {g}})، فإن {\mathfrak {g}} يمكن أن يكون جبر لي ثنائي مع \delta = 0.
جبر لي المزدوج: إذا كان {\mathfrak {g}} جبر لي، فإن الفضاء المزدوج {\mathfrak {g}}^* يمكن أن يكون جبر لي ثنائي.
جبر لي شبه البسيط: كل جبر لي شبه بسيط يمكن أن يكون جبر لي ثنائي بشكل أساسي.
جبر فيراسور: جبر فيراسور هو مثال مهم في نظرية الحقل المطابق، ويمكن أن يكون جبر لي ثنائي.
التطبيقات
تظهر جبر لي الثنائية في العديد من المجالات في الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك:
- نظرية الزمر الكمومية: جبر لي الثنائية هي لبنة أساسية في بناء الزمر الكمومية. الزمرة الكمومية هي تشوه لجبر لي عالمي مغلف، وتظهر في العديد من المجالات مثل نظرية التمثيل ونظرية العقدة.
- أنظمة التكامل: جبر لي الثنائية مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بأنظمة التكامل. على وجه الخصوص، تحدد جبر لي الثنائية هيكل بواسون على فضاء الطور لنظام متكامل.
- نظرية الحقل المطابق: تظهر جبر لي الثنائية في نظرية الحقل المطابق، وخاصة في دراسة جبر فيراسور.
- هندسة بواسون: جبر لي الثنائية لها صلة بهندسة بواسون، حيث تحدد هيكل بواسون على الفضاء المزدوج لجبر لي.
الخصائص
التقابل: إذا كان ({\mathfrak {g}}, [,], \delta) جبر لي ثنائي، فإن الفضاء المزدوج {\mathfrak {g}}^* يصبح جبر لي ثنائي مع العمليات المزدوجة.
التشوهات: جبر لي الثنائية لها علاقة بنظرية التشوهات. يمكن استخدامها لدراسة تشوهات جبر لي وهياكل الجبر الأخرى.
الكم: جبر لي الثنائية هي خطوة أولى في تكميم جبر لي. يمكن تكميم جبر لي ثنائي للحصول على زمرة كمومية.
جبر لي المثلثي
جبر لي المثلثي هو جبر لي {\mathfrak {g}} مع عنصر t \in \wedge^2 {\mathfrak {g}} (أي، t \in {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} و \tau(t) = -t) بحيث:
[t_{12}, t_{13}] + [t_{12}, t_{23}] + [t_{13}, t_{23}] = 0
حيث t_{12} = t \otimes 1، t_{13} = (id \otimes \tau)(t \otimes 1)، t_{23} = 1 \otimes t.
إذا كان {\mathfrak {g}} جبر لي مثلثي، فإنه أيضًا جبر لي ثنائي مع \delta(x) = [x \otimes 1 + 1 \otimes x, t].
جبر لي شبه المثلثي
جبر لي شبه المثلثي هو جبر لي {\mathfrak {g}} مع عنصر r \in {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} بحيث:
c(r) = [r_{12}, r_{13}] + [r_{12}, r_{23}] + [r_{13}, r_{23}]
هو عنصر غير متغير لـ {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}} \otimes {\mathfrak {g}}، حيث r_{12} = r \otimes 1، r_{13} = (id \otimes \tau)(r \otimes 1)، r_{23} = 1 \otimes r، و c(r) يسمى 3-دورة.
إذا كان {\mathfrak {g}} جبر لي شبه المثلثي، فإنه أيضًا جبر لي ثنائي مع \delta(x) = [x \otimes 1 + 1 \otimes x, r].
العلاقة مع الزمر الكمومية
جبر لي الثنائية هي ارتباط أساسي بين جبر لي والزمر الكمومية. في الواقع، يمكن اعتبار الزمر الكمومية على أنها “تكميم” جبر لي الثنائية المقابل. بشكل أكثر تحديدا:
- التشوه: الزمرة الكمومية U_q(\mathfrak{g}) هي تشوه لجبر لي العالمي المغلف U(\mathfrak{g}) لجبر لي \mathfrak{g}.
- هيكل هوبف: كل من U(\mathfrak{g}) و U_q(\mathfrak{g}) يمتلكان هيكل هوبف، والذي يحدد ضربًا مصاحبًا ووحدة مصاحبة.
- جبر لي الثنائي: جبر لي الثنائي (\mathfrak{g}, [,], \delta) يحدد بنية بواسون-لي على الزمرة الجبرية المطابقة G لجبر لي \mathfrak{g}.
بعبارة أخرى، جبر لي الثنائية يوفر إطارًا لفهم العلاقة بين الهياكل الكلاسيكية (جبر لي) والهياكل الكمومية (الزمر الكمومية). هذه العلاقة مهمة في الفيزياء الرياضية، حيث غالبًا ما تُستخدم الزمر الكمومية لنمذجة الأنظمة التي تظهر تأثيرات كمومية مهمة.
أمثلة مفصلة
مثال 1: جبر لي sl(2, C)
دعونا نفكر في جبر لي \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) من المصفوفات المربعة 2×2 ذات الأثر الصفري. قاعدة جبر لي هذه تعطى بواسطة:
e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad f = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad h = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
علاقات الجبر هي:
[h, e] = 2e, \quad [h, f] = -2f, \quad [e, f] = h
يمكننا تعريف بنية جبر لي الثنائي على \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) من خلال تحديد دالة \delta: \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \rightarrow \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) \otimes \mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}) التي تحقق شرط التوافق.
اختيار شائع لـ \delta هو:
\delta(h) = 0, \quad \delta(e) = e \otimes h – h \otimes e, \quad \delta(f) = f \otimes h – h \otimes f
يمكن التحقق من أن هذا التعريف لـ \delta يحقق البديهيات المطلوبة لجبر لي الثنائي.
مثال 2: جبر لي الأبلي
دع \mathfrak{g} تكون جبر لي الأبلي. هذا يعني أن [x, y] = 0 لجميع x, y \in \mathfrak{g}. في هذه الحالة، يمكن تعريف البنية الجبرية الثنائية بشكل تافه من خلال تعيين \delta(x) = 0 لجميع x \in \mathfrak{g}. من السهل التحقق من أن هذا التعريف يحقق البديهيات المطلوبة.
خاتمة
جبر لي الثنائية هو هيكل جبري مهم يربط بين جبر لي والزمر الكمومية. تظهر في العديد من المجالات في الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك نظرية الزمر الكمومية، وأنظمة التكامل، ونظرية الحقل المطابق، وهندسة بواسون. يوفر فهم جبر لي الثنائية رؤى قيمة حول العلاقة بين الهياكل الكلاسيكية والكمومية.