مجموعات تشاو (Chow Groups)

تعريف مجموعات تشاو

بشكل رسمي، لنجعل X صنفًا جبريًا على حقل k. ليكن Z_k(X) المجموعة الحرة المتولدة من الأصناف الفرعية المغلقة ذات الأبعاد k في X. تسمى عناصر Z_k(X) دورات جبرية ذات بعد k على X. هدفنا هو تعريف علاقة تكافؤ مناسبة على الدورات بحيث نحصل على مجموعة حاصل قسمة تعكس الخصائص الهندسية الجوهرية لـ X.

لتكن W صنفًا فرعيًا مغلقًا ذو بعد k+1 في X، وليكن f دالة كسرية على W. نحدد قاسم f، ويرمز له بـ div(f)، كدورة ذات بعد k:

div(f) = Σ_V ord_V(f) V

حيث يمتد الجمع على جميع المقومات الأولية V لبعد k في W، و ord_V(f) هو ترتيب صفر f على طول V. تسمى الدورات التي هي قواسم دوال كسرية دورات مكافئة بالعلاقة الخطية للصفر. المجموعة المتولدة من جميع الدورات المكافئة بالعلاقة الخطية للصفر يرمز لها بـ R_k(X).

مجموعة تشاو ذات بعد k لـ X، ويرمز لها بـ CH_k(X)، تعرف بأنها حاصل القسمة:

CH_k(X) = Z_k(X) / R_k(X)

بشكل مكافئ، يمكننا تعريف A^k(X) كمجموعة تشاو للدورات ذات الرتبة k، حيث A^k(X) = CH_{dim(X) – k}(X).

خصائص مجموعات تشاو

تتمتع مجموعات تشاو بعدة خصائص مهمة تجعلها أداة قوية في الهندسة الجبرية:

الترابط مع نظرية التقاطع: تسمح لنا مجموعات تشاو بتحديد نظرية تقاطع على X. أي، يمكننا تحديد حاصل ضرب Aⁱ(X) × A^j(X) → A^i+j(X)، مما يجعل المجموعة المدرجة Σ_i Aⁱ(X) حلقة متدرجة تسمى حلقة تشاو لـ X.
السلوك تحت التطبيقات المورفولوجية: بالنسبة لتطبيق مورفولوجي مناسب f: X → Y، يوجد تحويل ارتدادي f^*: A^k(Y) → A^k(X). علاوة على ذلك، إذا كان f تطبيقًا مورفولوجيًا مسطحًا ذو بعد نسبي ثابت d، يوجد تحويل أمامي f_*: A^k(X) → A^k-d(Y).
الترابط مع قوى جاكوبي: إذا كان X صنفًا غير مفرد على حقل الأعداد المركبة، فإن مجموعة تشاو CH₀(X) ترتبط ارتباطًا وثيقًا بقوة جاكوبي لـ X. على وجه الخصوص، إذا كان X منحنى غير مفرد، فإن CH₀(X) تتساوى مع قوة جاكوبي لـ X.
التماثل الثنائي: إذا كان X صنفًا إسقاطيًا غير مفرد، فإن مجموعة تشاو CH_k(X) متماثلة ثنائية مع مجموعة cohomology H^2dim(X)-2k(X, Z).

أمثلة على مجموعات تشاو

دعونا ننظر في بعض الأمثلة لحساب مجموعات تشاو:

مجموعة تشاو لنقطة: إذا كانت X نقطة، فإن CH₀(X) = Z.
مجموعة تشاو للمستقيم الإسقاطي: إذا كانت X = P¹(k) هو المستقيم الإسقاطي على حقل k، فإن CH₀(X) = Z و CH₁(X) = Z.
مجموعة تشاو للمستوى الإسقاطي: إذا كانت X = P²(k) هو المستوى الإسقاطي على حقل k، فإن CH₀(X) = Z، و CH₁(X) = Z، و CH₂(X) = Z.
مجموعة تشاو لفضاء إسقاطي: بشكل عام، إذا كانت X = Pⁿ(k) هو فضاء إسقاطي ذو بعد n على حقل k، فإن CH_i(X) = Z لكل i = 0, 1, …, n.
مجموعة تشاو لأصناف أبيليان: حساب مجموعات تشاو لأصناف أبيليان هو أكثر تعقيدًا، ولكنه لا يزال مجال بحث نشط. على سبيل المثال، إذا كانت A صنف أبيليان ذو بعد g، فإن مجموعة تشاو CH₁(A) تولدها الدورات الممثلة بمنحنيات على A.

تطبيقات مجموعات تشاو

تجد مجموعات تشاو تطبيقات في مجالات مختلفة من الرياضيات:

الهندسة الجبرية: تستخدم مجموعات تشاو لدراسة هندسة الأصناف الجبرية، بما في ذلك خصائصها الطوبولوجية والجبرية.
نظرية الأعداد: تستخدم مجموعات تشاو لدراسة الدوال L، والتخمينات الخاصة، وغيرها من الكائنات المتعلقة بالأصناف الجبرية المعرفة على حقول الأعداد.
الفيزياء الرياضية: تستخدم مجموعات تشاو في نظرية الأوتار ومجالات أخرى من الفيزياء الرياضية لفهم هندسة الفضاءات المعقدة.
علوم الحاسوب: تستخدم مجموعات تشاو في الرؤية الحاسوبية والرسومات لنمذجة الأشكال الهندسية المعقدة ومعالجتها.

تعميمات مجموعات تشاو

هناك العديد من التعميمات لمجموعات تشاو، بما في ذلك:

مجموعات تشاو العليا: هذه هي تعميم لمجموعات تشاو التي تأخذ في الاعتبار الهيكل التفاضلي للدورات الجبرية.
مجموعات K: هذه هي تعميم لمجموعات تشاو التي تأخذ في الاعتبار جبر K للصنف الجبري.
مجموعات motivic cohomology: هذه هي تعميم لمجموعات تشاو التي تأخذ في الاعتبار البنية motivic للصنف الجبري.

تلعب هذه التعميمات دورًا مهمًا في نظرية motivic homotopy وغيرها من المجالات الحديثة في الهندسة الجبرية.

تاريخ مجموعات تشاو

تم تقديم مجموعات تشاو لأول مرة من قبل وي-ليانغ تشاو في الخمسينيات من القرن الماضي. لقد قام تشاو بتعريف هذه المجموعات لفهم أفضل لتقاطع الدورات الجبرية على الأصناف الجبرية. منذ ذلك الحين، أصبحت مجموعات تشاو أداة أساسية في الهندسة الجبرية ولعبت دورًا حاسمًا في تطوير العديد من المجالات ذات الصلة.

ساهم العديد من علماء الرياضيات الآخرين في دراسة مجموعات تشاو، بمن فيهم ألكسندر غروتينديك، الذي طور نظرية K-نظرية، وهي تعميم لمجموعات تشاو. لقد وفر عمل غروتينديك إطارًا أكثر عمومية لدراسة الدورات الجبرية والخصائص الطوبولوجية للأصناف الجبرية.

في السنوات الأخيرة، كان هناك اهتمام متزايد بدراسة مجموعات تشاو العليا ومجموعات motivic cohomology. توفر هذه النظريات تعميمات أكثر دقة لمجموعات تشاو التي تلتقط معلومات إضافية حول الهيكل motivic للأصناف الجبرية.

التحديات المفتوحة

على الرغم من التقدم الكبير في دراسة مجموعات تشاو، لا تزال هناك العديد من التحديات المفتوحة. وتشمل هذه:

حساب مجموعات تشاو لأصناف أبيليان ذات بعد كبير.
فهم العلاقة بين مجموعات تشاو العليا ومجموعات motivic cohomology.
تطوير أدوات جديدة لحساب مجموعات تشاو للأصناف الجبرية المعقدة.
تطبيق مجموعات تشاو لحل المشكلات في نظرية الأعداد والفيزياء الرياضية وعلوم الحاسوب.

لا تزال هذه التحديات مفتوحة تحفز البحث المستمر في مجموعات تشاو والمجالات ذات الصلة.

خاتمة

مجموعات تشاو هي أدوات قوية في الهندسة الجبرية تسمح لنا بدراسة الدورات الجبرية وتقاطعها على الأصناف الجبرية. إنها توفر إطارًا طبيعيًا لتعريف نظرية تقاطع وتلعب دورًا حاسمًا في فهم الهيكل الهندسي للصنف. تتمتع مجموعات تشاو بالعديد من الخصائص المهمة، بما في ذلك ارتباطها بنظرية التقاطع، وسلوكها تحت التطبيقات المورفولوجية، وترابطها بقوى جاكوبي. لقد وجدوا تطبيقات في مجالات مختلفة من الرياضيات، بما في ذلك الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد والفيزياء الرياضية وعلوم الحاسوب. هناك العديد من التعميمات لمجموعات تشاو، بما في ذلك مجموعات تشاو العليا ومجموعات K ومجموعات motivic cohomology. لا تزال هناك العديد من التحديات المفتوحة في دراسة مجموعات تشاو، مما يحفز البحث المستمر في هذا المجال المثير.