تعريف فضاء شفارتز
بشكل أكثر دقة، يُعرف فضاء شفارتز، الذي يُرمز إليه عادةً بـ S(Rn) أو 𝒮(Rn)، على أنه فضاء الدوال المعرفة على الفضاء الإقليدي Rn والتي تحقق الشرطين التاليين:
- الدالة f هي دالة ملساء (قابلة للاشتقاق عدد لا نهائي من المرات).
- لكل عددين صحيحين غير سالبين α و β، حيث α و β هما مؤشرا تعدد، فإن:
sup |xα Dβ f(x)| < ∞
حيث:
- sup يمثل supremum (أكبر قيمة).
- xα يمثل x1α1 x2α2 … xnαn.
- Dβ f(x) يمثل المشتق الجزئي ∂|β| f / (∂x1β1 ∂x2β2 … ∂xnβn).
- |β| يمثل مجموع مكونات المؤشر المتعدد β، أي β1 + β2 + … + βn.
بعبارة أخرى، الدالة f تنتمي إلى فضاء شفارتز إذا كانت ملساء، وكانت هي وجميع مشتقاتها تتلاشى بسرعة أكبر من أي دالة قوة عند اللانهاية. هذا يعني أن حاصل ضرب أي مشتق للدالة f في أي دالة كثيرة الحدود يظل محدوداً.
أمثلة على دوال تنتمي إلى فضاء شفارتز
أمثلة على دوال تنتمي إلى فضاء شفارتز تشمل:
- الدوال الغاوسية: الدوال من الشكل f(x) = exp(-ax2)، حيث a عدد حقيقي موجب.
- الدوال ذات الدعم المدمج الملساء: هي دوال ملساء تساوي صفراً خارج فترة محدودة.
أمثلة على دوال لا تنتمي إلى فضاء شفارتز تشمل:
- الدالة الأسية: الدالة f(x) = exp(x) لا تنتمي إلى فضاء شفارتز لأنها لا تتلاشى عند اللانهاية.
- الدالة كثيرة الحدود: الدوال كثيرة الحدود لا تنتمي إلى فضاء شفارتز لأنها لا تتلاشى عند اللانهاية.
خصائص فضاء شفارتز
يتمتع فضاء شفارتز بعدة خصائص مهمة، مما يجعله مفيداً في التحليل الدالي ونظرية التوزيعات. بعض هذه الخصائص تشمل:
- الفضاء متجهي طوبولوجي: فضاء شفارتز هو فضاء متجهي مع بنية طوبولوجية محددة بواسطة مجموعة من الشبه-معايير.
- الاكتمال: فضاء شفارتز كامل بالنسبة للبنية الطوبولوجية المحددة عليه.
- الاشتمال في فضاءات أخرى: فضاء شفارتز مُضمن في فضاء الدوال المتكاملة تربيعياً L2(Rn)، وأيضاً مُضمن بكثافة في فضاء الدوال المتلاشية عند اللانهاية C0(Rn).
- التحويلات الخطية المستمرة: العديد من التحويلات الخطية المهمة، مثل تحويل فورييه، هي تحويلات مستمرة على فضاء شفارتز.
طوبولوجيا فضاء شفارتز
يتم تعريف الطوبولوجيا على فضاء شفارتز باستخدام عائلة من الشبه-معايير. لكل عددين صحيحين غير سالبين α و β، يُعرَّف الشبه-معيار pα,β على النحو التالي:
pα,β(f) = sup |xα Dβ f(x)|
حيث f هي دالة في فضاء شفارتز. هذه الشبه-معايير تحدد طوبولوجيا محلية محدبة على فضاء شفارتز. التقارب في فضاء شفارتز يعني أن جميع هذه الشبه-معايير تتقارب.
التقارب في فضاء شفارتز: نقول أن سلسلة من الدوال fn تتقارب إلى دالة f في فضاء شفارتز إذا وفقط إذا كان:
pα,β(fn – f) → 0
لكل عددين صحيحين غير سالبين α و β.
أهمية فضاء شفارتز في نظرية التوزيعات
يلعب فضاء شفارتز دوراً حاسماً في نظرية التوزيعات. التوزيع هو دالة خطية مستمرة معرفة على فضاء الدوال الاختبارية. عادةً ما يتم اختيار فضاء شفارتز ليكون فضاء الدوال الاختبارية بسبب خصائصه الجيدة. التوزيع المعتدل هو دالة خطية مستمرة على فضاء شفارتز.
بشكل أكثر تحديداً، الفضاء المزدوج لفضاء شفارتز، والذي يُرمز إليه بـ S'(Rn) أو 𝒮'(Rn)، هو فضاء التوزيعات المعتدلة. التوزيع المعتدل هو دالة خطية مستمرة T: S(Rn) → C، حيث C هو مجموعة الأعداد المركبة. الاستمرارية هنا تعني أنه إذا كانت سلسلة من الدوال fn تتقارب إلى f في فضاء شفارتز، فإن T(fn) تتقارب إلى T(f) في C.
أمثلة على التوزيعات المعتدلة تشمل:
- الدوال المتكاملة محلياً: كل دالة متكاملة محلياً g تحدد توزيعاً معتدلاً Tg على النحو التالي:
Tg(f) = ∫ g(x) f(x) dx
- دالة ديراك: دالة ديراك δ هي توزيع معتدل معرف على النحو التالي:
δ(f) = f(0)
تعتبر نظرية التوزيعات أداة قوية لتحليل الدوال غير القابلة للاشتقاق بالمعنى التقليدي، وتسمح بتعميم مفهوم المشتقة ليشمل التوزيعات.
تحويل فورييه على فضاء شفارتز
تحويل فورييه هو تحويل مهم في التحليل الرياضي، وله تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة. يتم تعريف تحويل فورييه لدالة f في فضاء شفارتز على النحو التالي:
F(f)(ξ) = ∫ f(x) exp(-2πi x · ξ) dx
حيث:
- F(f) هو تحويل فورييه للدالة f.
- ξ هو متغير التردد.
- x · ξ هو حاصل الضرب القياسي بين x و ξ.
إحدى الخصائص المهمة لتحويل فورييه هي أنه يحول الدوال في فضاء شفارتز إلى دوال أخرى في فضاء شفارتز. بمعنى آخر، إذا كانت f تنتمي إلى S(Rn)، فإن F(f) أيضاً تنتمي إلى S(Rn). بالإضافة إلى ذلك، تحويل فورييه هو تحويل مستمر على فضاء شفارتز.
تحويل فورييه العكسي: يتم تعريف تحويل فورييه العكسي على النحو التالي:
f(x) = ∫ F(f)(ξ) exp(2πi x · ξ) dξ
تحويل فورييه العكسي أيضاً يحول الدوال في فضاء شفارتز إلى دوال أخرى في فضاء شفارتز، وهو تحويل مستمر.
تعتبر حقيقة أن تحويل فورييه يحافظ على فضاء شفارتز مهمة جداً في نظرية التوزيعات، لأنها تسمح بتعريف تحويل فورييه للتوزيعات المعتدلة. يتم تعريف تحويل فورييه للتوزيع المعتدل T على النحو التالي:
(F(T))(f) = T(F(f))
حيث f هي دالة اختبارية في فضاء شفارتز.
تطبيقات فضاء شفارتز
لفضاء شفارتز تطبيقات واسعة في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك:
- نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية: يستخدم فضاء شفارتز في دراسة حلول المعادلات التفاضلية الجزئية، وخاصة المعادلات الخطية ذات المعاملات الثابتة.
- ميكانيكا الكم: يستخدم فضاء شفارتز لتمثيل حالات الجسيمات الكمومية. تحويل فورييه يلعب دوراً هاماً في ميكانيكا الكم، حيث يربط بين تمثيل الموقع وتمثيل الزخم.
- معالجة الإشارات: يستخدم فضاء شفارتز في تحليل ومعالجة الإشارات، حيث يعتبر تحويل فورييه أداة أساسية في هذا المجال.
- التحليل العددي: يمكن استخدام فضاء شفارتز لتقريب الدوال وحساب التكاملات عددياً.
مثال تفصيلي: الدالة الغاوسية
لنأخذ الدالة الغاوسية f(x) = exp(-πx2) كمثال على دالة تنتمي إلى فضاء شفارتز. هذه الدالة ملساء، ومشتقاتها هي حاصل ضرب دوال غاوسية وكثيرات حدود. لكي نثبت أن هذه الدالة تنتمي إلى فضاء شفارتز، يجب أن نتحقق من أن sup |xα Dβ f(x)| < ∞ لكل عددين صحيحين غير سالبين α و β.
لحساب المشتقات، يمكننا استخدام قاعدة السلسلة. على سبيل المثال، المشتق الأول هو f'(x) = -2πx exp(-πx2)، والمشتق الثاني هو f”(x) = (4π2x2 – 2π) exp(-πx2). بشكل عام، المشتقة من الرتبة β ستكون من الشكل Dβ f(x) = Pβ(x) exp(-πx2)، حيث Pβ(x) هي دالة كثيرة الحدود.
الآن، علينا أن نثبت أن sup |xα Pβ(x) exp(-πx2)| < ∞ لكل α و β. بما أن Pβ(x) هي دالة كثيرة الحدود، فإن xα Pβ(x) هي أيضاً دالة كثيرة الحدود. نعلم أن الدالة الأسية exp(-πx2) تتلاشى بسرعة أكبر من أي دالة كثيرة الحدود عندما |x| → ∞. لذلك، حاصل ضرب دالة كثيرة الحدود في الدالة الأسية سيتلاشى عند اللانهاية، وبالتالي سيكون محدوداً.
هذا يثبت أن الدالة الغاوسية تنتمي إلى فضاء شفارتز.
خاتمة
فضاء شفارتز هو فضاء دالي مهم في التحليل الدالي ونظرية التوزيعات. يتميز بخصائص تجعله مناسباً لدراسة الدوال التي تتلاشى بسرعة عند اللانهاية، كما أنه يلعب دوراً حاسماً في تعريف التوزيعات المعتدلة وتحويل فورييه للتوزيعات. لفضاء شفارتز تطبيقات واسعة في مختلف مجالات الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك نظرية المعادلات التفاضلية الجزئية، وميكانيكا الكم، ومعالجة الإشارات.