<![CDATA[
مقدمة
في علم الجبر التجريدي، تعد حلقة الكسور الكلية أو حلقة القسمة الكلية بناءً يعمم مفهوم الحقل. بينما يمكن بناء حقل كسور المجال المتكامل (integral domain)، فإن حلقة الكسور الكلية يمكن بناؤها لأي حلقة تبديلية. جوهر هذا البناء يكمن في جعل العناصر غير القواسم الصفرية قابلة للعكس، مما يؤدي إلى حلقة جديدة تحتوي على الحلقة الأصلية كحلقة جزئية. هذا البناء له أهمية خاصة في دراسة الحلقات التي ليست مجالات متكاملة، حيث يسمح لنا بمعالجة الكسور بطريقة أكثر عمومية.
تعريف حلقة الكسور الكلية
لتكن \(R\) حلقة تبديلية ولتكن \(S\) المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر غير القواسم الصفرية في \(R\). أي أن:
\(S = \{x \in R \mid \forall y \in R, xy = 0 \Rightarrow y = 0\}\)
بمعنى آخر، \(S\) هي مجموعة العناصر التي ليست قواسم صفرية. لاحظ أن \(S\) هي مجموعة مغلقة تحت الضرب لأن حاصل ضرب عنصرين ليسا قواسم صفرية هو أيضاً ليس قاسماً صفرياً. هذه المجموعة \(S\) تسمى مجموعة الضرب (multiplicative set).
حلقة الكسور الكلية لـ \(R\)، والتي نرمز إليها بـ \(S^{-1}R\) أو \(Q(R)\)، هي حلقة موضعية (localization) لـ \(R\) بالنسبة للمجموعة \(S\). رياضياً، يمكن تعريفها على النحو التالي:
\(S^{-1}R = \{\frac{r}{s} \mid r \in R, s \in S\}\)
حيث أن العملية الحسابية معرفة على النحو التالي:
- \(\frac{r_1}{s_1} + \frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1s_2 + r_2s_1}{s_1s_2}\)
- \(\frac{r_1}{s_1} \cdot \frac{r_2}{s_2} = \frac{r_1r_2}{s_1s_2}\)
تعتبر المساواة بين كسرين \(\frac{r_1}{s_1}\) و \(\frac{r_2}{s_2}\) صحيحة إذا وُجد عنصر \(t \in S\) بحيث:
\(t(r_1s_2 – r_2s_1) = 0\)
هذا التعريف يضمن أن العلاقة بين الكسور هي علاقة تكافؤ، وأن العمليات الحسابية معرفة بشكل جيد.
خصائص حلقة الكسور الكلية
لحلقة الكسور الكلية عدة خصائص مهمة تجعلها أداة قوية في دراسة الحلقات التبديلية:
- التضمين: توجد دالة أحادية الشكل (injective homomorphism) من \(R\) إلى \(Q(R)\) معطاة بواسطة \(r \mapsto \frac{rs}{s}\) لأي \(s \in S\). هذا يعني أن \(R\) يمكن اعتبارها حلقة جزئية من \(Q(R)\).
- العناصر غير القواسم الصفرية قابلة للعكس: جميع العناصر في \(S\) (أي العناصر غير القواسم الصفرية في \(R\)) تصبح قابلة للعكس في \(Q(R)\). هذا هو جوهر بناء حلقة الكسور الكلية.
- الخاصية الشاملة: إذا كانت \(f: R \to T\) دالة شكلية حلقية حيث كل عنصر في \(S\) يقابل عنصرًا قابلاً للعكس في \(T\)، فإن \(f\) تتمدد بشكل فريد إلى دالة شكلية حلقية \(g: Q(R) \to T\) بحيث \(g(\frac{r}{s}) = f(r)f(s)^{-1}\).
- حلقة فون نيومان المنتظمة (Von Neumann Regular Ring): إذا كانت \(R\) حلقة فون نيومان المنتظمة، فإن \(Q(R) = R\).
- حلقة ذاتية الالتصاق (Self-injective Ring): حلقة الكسور الكلية \(Q(R)\) تكون حلقة ذاتية الالتصاق.
أمثلة
مثال 1:
لتكن \(R = \mathbb{Z}\) (حلقة الأعداد الصحيحة). هنا، \(S = \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) (جميع الأعداد الصحيحة غير الصفرية). إذن، \(Q(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}\) (حقل الأعداد النسبية). هذا مثال كلاسيكي يوضح كيف أن حلقة الكسور الكلية تعمم مفهوم حقل الكسور.
مثال 2:
لتكن \(R = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) (حلقة الأعداد الصحيحة modulo 6). هنا، \(R = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\). القواسم الصفرية في \(R\) هي \(2\)، \(3\)، و \(4\). إذن، \(S = \{1, 5\}\). لاحظ أن \(5 \equiv -1 \pmod{6}\)، وبالتالي \(5\) هو قابلاً للعكس بالفعل في \(R\). في هذه الحالة، \(Q(R) = R\). هذا يوضح أنه في بعض الحالات، قد تكون حلقة الكسور الكلية مماثلة للحلقة الأصلية.
مثال 3:
لتكن \(R = K[x, y]/(xy)\) حيث \(K\) هو حقل و \(K[x, y]\) هي حلقة كثيرات الحدود في متغيرين. في هذه الحالة، \(x\) و \(y\) هما قواسم صفرية. يمكن حساب \(Q(R)\) بشكل أكثر تعقيدًا، ويتطلب فهمًا أعمق لبنية الحلقة \(R\).
تطبيقات حلقة الكسور الكلية
حلقة الكسور الكلية لها تطبيقات متعددة في مجالات مختلفة من الجبر التجريدي والهندسة الجبرية:
- دراسة الحلقات غير المتكاملة: توفر حلقة الكسور الكلية أداة لدراسة الحلقات التي ليست مجالات متكاملة، حيث تسمح بمعالجة الكسور حتى في وجود قواسم صفرية.
- نظرية الموضع (Localization Theory): تعتبر حلقة الكسور الكلية حالة خاصة من الموضع، وهي تقنية عامة تستخدم لدراسة الحلقات والموديولات عن طريق جعل بعض العناصر قابلة للعكس.
- الهندسة الجبرية: تستخدم حلقات الكسور الكلية في بناء حقول الدوال لمنوعات جبرية.
- نظرية الحلقات: تساعد في فهم بنية الحلقات من خلال دراسة خصائصها بعد جعل العناصر غير القواسم الصفرية قابلة للعكس.
العلاقة بين حلقة الكسور الكلية والموضع
حلقة الكسور الكلية هي حالة خاصة من مفهوم أعم وهو الموضع (localization). بشكل عام، إذا كانت \(R\) حلقة تبديلية و \(S\) مجموعة ضربية في \(R\)، فإن موضع \(R\) عند \(S\)، والذي يُرمز إليه بـ \(S^{-1}R\)، هو حلقة تتكون من الكسور \(\frac{r}{s}\) حيث \(r \in R\) و \(s \in S\). العمليات الحسابية والتعريف الدقيق للمساواة بين الكسور هي نفسها كما في حالة حلقة الكسور الكلية.
الفرق الرئيسي هو أن \(S\) في حالة الموضع يمكن أن تكون أي مجموعة ضربية، بينما في حالة حلقة الكسور الكلية، \(S\) هي تحديدًا مجموعة العناصر غير القواسم الصفرية. بالتالي، حلقة الكسور الكلية هي أقصى موضع ممكن بمعنى أنها تجعل أكبر عدد ممكن من العناصر قابلة للعكس.
حلقة الكسور الكلية وحقل الكسور
عندما تكون \(R\) مجالًا متكاملاً (integral domain)، فإن مجموعة العناصر غير الصفرية \(R \setminus \{0\}\) هي مجموعة ضربية. في هذه الحالة، فإن موضع \(R\) عند هذه المجموعة هو حقل الكسور (field of fractions) لـ \(R\)، والذي يرمز إليه بـ \(Frac(R)\) أو \(Q(R)\). حقل الكسور هو أصغر حقل يحتوي على \(R\) كحلقة جزئية.
إذن، حقل الكسور هو حالة خاصة من حلقة الكسور الكلية، حيث الحلقة الأصلية هي مجال متكامل. بمعنى آخر، حلقة الكسور الكلية تعمم مفهوم حقل الكسور ليشمل الحلقات التي ليست مجالات متكاملة.
مثال تفصيلي: حساب حلقة الكسور الكلية لـ R = Z/4Z
لنفترض أننا نريد حساب حلقة الكسور الكلية للحلقة \(R = \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\). هذه الحلقة تتكون من العناصر \(\{0, 1, 2, 3\}\) مع العمليات الحسابية modulo 4.
- تحديد القواسم الصفرية: العنصر 2 هو قاسم صفري لأن \(2 \cdot 2 = 4 \equiv 0 \pmod{4}\).
- تحديد المجموعة S: المجموعة \(S\) تتكون من العناصر غير القواسم الصفرية، أي \(S = \{1, 3\}\).
- بناء حلقة الكسور الكلية: حلقة الكسور الكلية \(Q(R)\) تتكون من الكسور \(\frac{r}{s}\) حيث \(r \in R\) و \(s \in S\). لذلك، لدينا الكسور التالية:
- \(\frac{0}{1}, \frac{0}{3}\)
- \(\frac{1}{1}, \frac{1}{3}\)
- \(\frac{2}{1}, \frac{2}{3}\)
- \(\frac{3}{1}, \frac{3}{3}\)
- تبسيط الكسور: يجب أن نتذكر أن \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) إذا كان يوجد \(t \in S\) بحيث \(t(ad – bc) = 0\).
- \(\frac{0}{1} = \frac{0}{3}\) لأن \(1(0 \cdot 3 – 0 \cdot 1) = 0\)
- \(\frac{1}{3} = \frac{3}{1}\) لأن \(1(1 \cdot 1 – 3 \cdot 3) = 1 – 9 = -8 \equiv 0 \pmod{4}\) وبالتالي \(3(1 – 9) = 3(-8) = -24 \equiv 0 \pmod{4}\). أيضا \(3 \cdot 3 = 9 \equiv 1 \pmod{4}\) إذن \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{3}{1}\)
- \(\frac{2}{1} = \frac{2}{3}\) لأن \(3(2 \cdot 3 – 2 \cdot 1) = 3(6 – 2) = 3(4) = 12 \equiv 0 \pmod{4}\). أيضا \(3 \cdot 3 = 9 \equiv 1 \pmod{4}\) إذن \(\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{1} = \frac{2}{1}\)
- \(\frac{3}{3} = \frac{1}{1}\)
- النتيجة: بناءً على التبسيط، نجد أن \(Q(R) = \{\frac{0}{1}, \frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}\} \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\). في هذه الحالة، حلقة الكسور الكلية مماثلة للحلقة الأصلية.
خاتمة
حلقة الكسور الكلية هي أداة قوية في علم الجبر التجريدي تسمح بتعميم مفهوم الحقل ليشمل الحلقات التي ليست مجالات متكاملة. من خلال جعل العناصر غير القواسم الصفرية قابلة للعكس، تمكننا حلقة الكسور الكلية من دراسة بنية الحلقات بطريقة أكثر عمومية وفعالية. لها تطبيقات واسعة في نظرية الحلقات، الهندسة الجبرية، وغيرها من المجالات المتعلقة بالجبر.