الإحصاء الاختبارات الإحصائية الاقتصاد السلاسل الزمنية تحليل البيانات

اختبار ليونغ–بوكس (Ljung–Box test)

- إحصاء, اختبار, تحليل بيانات, سلسلة زمنية, ليونغ بوكس

أساسيات اختبار ليونغ–بوكس

يعتمد اختبار ليونغ–بوكس على مفهوم الدالة التلقائية (autocorrelation function – ACF) للسلسلة الزمنية. الدالة التلقائية تقيس الارتباط بين قيم السلسلة الزمنية في لحظات زمنية مختلفة. على سبيل المثال، تقيس الدالة التلقائية عند التأخر (lag) 1 الارتباط بين قيمة السلسلة في الوقت t وقيمتها في الوقت t-1. يقوم الاختبار بفحص ما إذا كانت الدالة التلقائية لمختلف التأخرات (lags) تختلف بشكل كبير عن الصفر. إذا كان الأمر كذلك، فهذا يشير إلى وجود ارتباطات غير عشوائية في البيانات.

صيغة اختبار ليونغ–بوكس

صيغة إحصائية الاختبار (Q) هي كما يلي:

Q = n * (n+2) * Σ(ρ_k^2 / (n-k))

حيث:

  • n هو حجم العينة (عدد نقاط البيانات في السلسلة الزمنية).
  • k يمثل التأخر (lag).
  • ρ_k هو معامل الارتباط الذاتي للعينة عند التأخر k.
  • Σ تعني مجموع القيم من k = 1 إلى m، حيث m هو عدد التأخرات التي يتم تحليلها.

تتبع إحصائية الاختبار Q تقريبًا توزيع مربع كاي (Chi-squared distribution) مع درجات حرية (m – p – q)، حيث p و q هما معاملات نموذج ARIMA (إذا تم استخدامه). إذا كانت قيمة Q أكبر من قيمة حرجة من توزيع مربع كاي عند مستوى معنوية محدد (مثل 0.05)، فإننا نرفض فرضية العدم ونستنتج أن السلسلة الزمنية ليست عشوائية.

فرضيات الاختبار

كما هو الحال في أي اختبار إحصائي، يعتمد اختبار ليونغ–بوكس على فرضيات معينة:

  • فرضية العدم (H0): تفترض أن البيانات في السلسلة الزمنية مستقلة وعشوائية (لا توجد ارتباطات ذاتية).
  • الفرضية البديلة (H1): تفترض أن البيانات في السلسلة الزمنية ليست مستقلة وعشوائية (توجد ارتباطات ذاتية).

كيفية إجراء اختبار ليونغ–بوكس

لإجراء اختبار ليونغ–بوكس، يتم اتباع الخطوات التالية:

  1. جمع البيانات: جمع بيانات السلسلة الزمنية المراد تحليلها.
  2. حساب معاملات الارتباط الذاتي: حساب معاملات الارتباط الذاتي (ρ_k) للسلسلة الزمنية عند مختلف التأخرات (k).
  3. حساب إحصائية الاختبار (Q): استخدام الصيغة المذكورة أعلاه لحساب قيمة Q.
  4. تحديد مستوى المعنوية (α): تحديد مستوى المعنوية (عادة 0.05 أو 0.01). يمثل مستوى المعنوية احتمال رفض فرضية العدم عندما تكون صحيحة.
  5. تحديد درجات الحرية: تحديد درجات الحرية (m – p – q) بناءً على عدد التأخرات (m) ومعلمات نموذج ARIMA (p, q) إذا تم استخدامه.
  6. الحصول على القيمة الحرجة: استخدام جدول توزيع مربع كاي أو برنامج إحصائي للحصول على القيمة الحرجة المقابلة لمستوى المعنوية ودرجات الحرية.
  7. اتخاذ القرار: مقارنة قيمة Q المحسوبة بالقيمة الحرجة.
    • إذا كانت Q أكبر من القيمة الحرجة، نرفض فرضية العدم ونستنتج أن السلسلة الزمنية ليست عشوائية.
    • إذا كانت Q أصغر من أو تساوي القيمة الحرجة، فإننا نفشل في رفض فرضية العدم، مما يشير إلى أن السلسلة الزمنية قد تكون عشوائية.

تفسير النتائج

تعتمد تفسير نتائج اختبار ليونغ–بوكس على القيمة p (p-value)، وهي احتمال الحصول على إحصائية اختبار بقيمة مساوية أو أكثر تطرفًا من القيمة المحسوبة، بافتراض أن فرضية العدم صحيحة. إذا كانت القيمة p أقل من مستوى المعنوية (α)، فإننا نرفض فرضية العدم. هذا يعني أن هناك دليلًا إحصائيًا على أن السلسلة الزمنية ليست عشوائية.

من المهم أن نلاحظ أن اختبار ليونغ–بوكس لا يحدد سبب الارتباط الذاتي. إذا تم رفض فرضية العدم، فهذا يشير فقط إلى وجود ارتباطات ذاتية، ولكن لا يقدم تفسيرًا لهذه الارتباطات. قد تتطلب معرفة سبب الارتباطات الذاتية مزيدًا من التحليل، مثل فحص مخططات السلسلة الزمنية، أو تحليل الدالة التلقائية الجزئية (PACF)، أو بناء نماذج ARIMA.

متى يتم استخدام اختبار ليونغ–بوكس

يستخدم اختبار ليونغ–بوكس في مجموعة متنوعة من المجالات، بما في ذلك:

  • التمويل: لتحليل أسعار الأسهم والأصول الأخرى، وتحديد ما إذا كانت هناك اتجاهات أو دورات في السوق.
  • الاقتصاد: لتحليل البيانات الاقتصادية مثل الناتج المحلي الإجمالي والتضخم، وتحديد ما إذا كانت هناك دورات اقتصادية.
  • الهندسة: لتحليل العمليات الصناعية، وتحديد ما إذا كانت هناك أي مشاكل في السيطرة على العمليات.
  • البيئة: لتحليل البيانات البيئية مثل درجة الحرارة وكمية الأمطار، وتحديد ما إذا كانت هناك أي اتجاهات أو دورات.
  • تحليل السلاسل الزمنية بشكل عام: يستخدم الاختبار على نطاق واسع في مجالات مختلفة لتقييم جودة النماذج، والتأكد من استقلالية الأخطاء، والكشف عن الأنماط في البيانات.

قيود اختبار ليونغ–بوكس

على الرغم من أن اختبار ليونغ–بوكس أداة مفيدة، إلا أنه يحتوي على بعض القيود:

  • الحساسية لحجم العينة: قد يكون الاختبار أقل موثوقية للعينات الصغيرة.
  • الاعتماد على توزيع مربع كاي: يعتمد الاختبار على افتراض أن إحصائية الاختبار تتبع توزيع مربع كاي، والذي قد لا يكون صحيحًا دائمًا، خاصة للعينات الصغيرة أو عندما يكون عدد التأخرات كبيرًا.
  • التحيز: قد يكون الاختبار متحيزًا إذا كانت السلسلة الزمنية غير مستقرة (أي أن متوسطها أو تباينها يتغير بمرور الوقت).
  • لا يحدد سبب الارتباط الذاتي: كما ذكر أعلاه، لا يحدد الاختبار أسباب الارتباط الذاتي.

لتخفيف هذه القيود، يوصى باستخدام الاختبار مع اختبارات وتقنيات أخرى، مثل تحليل الدالة التلقائية الجزئية، وتحديد الاتجاهات والتقلبات، وبناء نماذج ARIMA.

الفرق بين اختبار ليونغ–بوكس واختبار بوكس–بيرس

اختبار بوكس–بيرس (Box-Pierce test) هو اختبار إحصائي آخر يستخدم لتحديد الارتباطات الذاتية في السلاسل الزمنية. يعتبر اختبار ليونغ–بوكس تحسينًا لاختبار بوكس–بيرس. الاختلاف الرئيسي هو في طريقة حساب إحصائية الاختبار. يستخدم اختبار ليونغ–بوكس تصحيحًا لتقليل التحيز، مما يجعله أكثر دقة، خاصة للعينات الصغيرة. على الرغم من ذلك، يعمل الاختباران بشكل مشابه، وكلاهما يعتمد على حساب إحصائية اختبار ومقارنتها بقيمة حرجة لتحديد ما إذا كانت هناك ارتباطات ذاتية في البيانات.

أمثلة على استخدام اختبار ليونغ–بوكس

لتوضيح كيفية عمل اختبار ليونغ–بوكس، إليك بعض الأمثلة:

  • تحليل أسعار الأسهم: لنفترض أننا نريد تحليل سلسلة زمنية لأسعار سهم معين. نقوم بإجراء اختبار ليونغ–بوكس لتحديد ما إذا كانت هناك أي ارتباطات ذاتية في أسعار الأسهم. إذا كان الاختبار يشير إلى وجود ارتباطات ذاتية، فقد يشير ذلك إلى أن أسعار الأسهم لا تتبع مسارًا عشوائيًا، وقد يكون من الممكن التنبؤ بها إلى حد ما.
  • تحليل البيانات الاقتصادية: نفترض أننا نريد تحليل سلسلة زمنية للناتج المحلي الإجمالي لدولة ما. نقوم بإجراء اختبار ليونغ–بوكس لتحديد ما إذا كانت هناك أي دورات في النمو الاقتصادي. إذا كان الاختبار يشير إلى وجود ارتباطات ذاتية، فقد يشير ذلك إلى أن هناك دورات اقتصادية يمكن التنبؤ بها.
  • تقييم نموذج ARIMA: عند بناء نموذج ARIMA لسلسلة زمنية، يمكن استخدام اختبار ليونغ–بوكس للتحقق من استقلالية الأخطاء المتبقية من النموذج. إذا كانت الأخطاء غير مستقلة (أي أن الاختبار يرفض فرضية العدم)، فقد يشير ذلك إلى أن النموذج غير مناسب للبيانات، أو أن هناك حاجة إلى مزيد من التحسين.

تطبيقات اختبار ليونغ–بوكس في البرامج الإحصائية

يتوفر اختبار ليونغ–بوكس في العديد من حزم البرامج الإحصائية، مما يسهل إجراؤه على البيانات. بعض الأمثلة تشمل:

  • R: يمكن إجراء الاختبار باستخدام الدالة Box.test() في R.
  • Python: يمكن إجراء الاختبار باستخدام الدالة ljungbox() في مكتبة statsmodels.
  • SPSS: يمكن إجراء الاختبار من خلال قائمة التحليل (Analyze) ثم السلاسل الزمنية (Time Series) ثم النماذج (Models) ثم إحصائيات التوالي (Autocorrelations).
  • Excel: على الرغم من أن Excel لا يوفر دالة مباشرة لاختبار ليونغ–بوكس، يمكن حساب الإحصائيات اللازمة باستخدام دوال Excel ثم إجراء الاختبار يدويًا.

نصائح عملية

عند استخدام اختبار ليونغ–بوكس، ضع في اعتبارك النصائح التالية:

  • اختيار عدد التأخرات (m): يعتمد اختيار عدد التأخرات على طول السلسلة الزمنية والهدف من التحليل. كقاعدة عامة، يوصى باستخدام عدد التأخرات يساوي تقريبًا جذر حجم العينة (√n).
  • فحص الدالة التلقائية: قبل إجراء اختبار ليونغ–بوكس، من المفيد فحص الدالة التلقائية (ACF) للدالة الزمنية. يمكن أن يوفر هذا معلومات مفيدة حول الارتباطات الذاتية في البيانات.
  • النظر في البيانات المفقودة: إذا كانت البيانات تحتوي على قيم مفقودة، يجب معالجتها قبل إجراء الاختبار. يمكن القيام بذلك عن طريق ملء القيم المفقودة أو استبعادها من التحليل.
  • استخدام الاختبارات الأخرى: لا تعتمد فقط على اختبار ليونغ–بوكس. استخدم الاختبارات الأخرى وتقنيات التحليل لتأكيد النتائج.

خاتمة

اختبار ليونغ–بوكس هو أداة إحصائية قوية لتحديد ما إذا كانت هناك ارتباطات ذاتية في سلسلة زمنية. يساعد الاختبار في تقييم جودة النماذج، وتحديد الأنماط في البيانات، وفهم سلوك السلاسل الزمنية. على الرغم من بعض القيود، يظل الاختبار أداة قيمة للمحللين والباحثين في مجموعة واسعة من المجالات. يجب استخدامه جنبًا إلى جنب مع أدوات وأساليب التحليل الأخرى للحصول على فهم شامل للبيانات.

المراجع

“`

مقالات مرتبطة