<![CDATA[
مقدمة في إجهاد المستوى
عندما تتعرض مادة صلبة لقوى خارجية، فإنها تتعرض لإجهادات داخلية. الإجهاد هو مقياس للقوة المؤثرة على وحدة المساحة داخل المادة. في الحالة العامة، يمكن أن يكون الإجهاد ثلاثي الأبعاد، أي أن له مكونات في جميع الاتجاهات الثلاثة. ومع ذلك، في بعض الحالات، يمكننا تبسيط المشكلة بافتراض أن الإجهاد يكون ثنائي الأبعاد، وهذا ما يعرف بإجهاد المستوى.
في حالة إجهاد المستوى، نفترض أن الإجهاد في اتجاه واحد (عادةً ما يكون الاتجاه العمودي على السطح) يكون صفراً. هذا يعني أن المادة رقيقة نسبيًا في هذا الاتجاه، أو أن القوى المؤثرة على هذا الاتجاه تكون مهملة. على سبيل المثال، يمكن اعتبار الصفائح الرقيقة أو الألواح العريضة تحت تأثير القوى في مستواها كحالات إجهاد مستوى.
افتراضات إجهاد المستوى
يعتمد تحليل إجهاد المستوى على عدد من الافتراضات الأساسية:
- السمك الرقيق: يجب أن يكون سمك الجسم صغيرًا نسبيًا مقارنة بأبعاده الأخرى في المستوي الذي يتعرض للقوى.
- القوى في المستوى: يجب أن تكون القوى الخارجية المؤثرة على الجسم موجهة بشكل أساسي في المستوى، مع إهمال تأثير القوى العمودية على المستوى.
- عدم وجود إجهاد عمودي: يفترض أن مكونات الإجهاد العمودية على المستوى (الإجهادات في الاتجاه العمودي على السطح) تكون صفراً.
- عدم وجود توزيع للإجهاد عبر السمك: يفترض أن الإجهادات تتوزع بشكل موحد عبر سمك الجسم.
تعتبر هذه الافتراضات تبسيطات، ولكنها تسمح لنا بتبسيط المعادلات وتسهيل التحليل. من المهم ملاحظة أن هذه الافتراضات تقريبية، وقد لا تكون دقيقة في جميع الحالات. ومع ذلك، فإنها تقدم نتائج مقبولة في العديد من التطبيقات الهندسية.
أمثلة على حالات إجهاد المستوى
هناك العديد من الأمثلة على الحالات التي يمكن فيها تطبيق نموذج إجهاد المستوى:
- الصفائح الرقيقة: الصفائح المعدنية الرقيقة المستخدمة في صناعة الطائرات والسيارات.
- الألواح العريضة: الألواح المستخدمة في بناء الجسور والمباني، حيث يكون سمك اللوح صغيرًا نسبيًا مقارنة بأبعاده الأخرى.
- الأغشية الرقيقة: الأغشية المستخدمة في صناعة الأكياس البلاستيكية أو الأغشية الواقية.
- الأجزاء المسطحة: مثل الأقراص والتروس الرقيقة، حيث تتعرض للقوى في مستويها.
في هذه الحالات، يمكننا افتراض أن الإجهاد في الاتجاه العمودي على السطح يكون صفراً، وبالتالي تبسيط تحليل الإجهاد.
معادلات إجهاد المستوى
عند تحليل إجهاد المستوى، نستخدم المعادلات التالية:
معادلات التوازن:
∑Fx = 0
∑Fy = 0
∑Mz = 0
حيث:
- Fx هي القوة في اتجاه x
- Fy هي القوة في اتجاه y
- Mz هو العزم حول المحور z
علاقات الإجهاد والانفعال:
هذه العلاقات تعتمد على قانون هوك، وتنص على أن الإجهاد يتناسب طرديًا مع الانفعال. بالنسبة للمواد المرنة، يمكن كتابة هذه العلاقات على النحو التالي:
σx = Eεx – ν(σy + σz)
σy = Eεy – ν(σx + σz)
σz = 0
τxy = Gγxy
حيث:
- σx, σy, σz هي إجهادات الإجهاد في الاتجاهات x، y، z على التوالي
- εx, εy هي انفعالات الإجهاد في الاتجاهات x و y على التوالي
- τxy هو إجهاد القص
- E هو معامل يونغ (Young’s modulus)
- ν هو معامل بواسون (Poisson’s ratio)
- G هو معامل القص (shear modulus)
- γxy هو انفعال القص
في حالة إجهاد المستوى، σz = 0، لذلك يمكن تبسيط المعادلات.
دائرة موهر (Mohr’s Circle) لإجهاد المستوى
دائرة موهر هي أداة رسومية تستخدم لتحديد الإجهادات القصوى والرئيسية في نقطة معينة في جسم يخضع لإجهاد. إنها طريقة مفيدة لتصور تحول الإجهاد عند تغيير اتجاه المستوى الذي يتم تحليل الإجهاد عليه. تعتبر دائرة موهر مفيدة بشكل خاص في تحديد إجهادات القص القصوى والإجهادات الرئيسية (الإجهادات العمودية القصوى) وتوجيهاتها.
لإنشاء دائرة موهر لإجهاد المستوى:
- نرسم محورين متعامدين: يمثل المحور الأفقي الإجهاد العمودي (σ) والمحور الرأسي يمثل إجهاد القص (τ).
- نحدد الإجهادات عند نقطة معينة على الجسم، أي σx، σy وτxy.
- نحدد مركز الدائرة: (σavg, 0) حيث σavg = (σx + σy)/2.
- نحدد نصف قطر الدائرة: R = √(((σx – σy)/2)2 + τxy2).
- نرسم الدائرة باستخدام المركز ونصف القطر الذي تم حسابه.
باستخدام دائرة موهر، يمكننا تحديد:
- الإجهادات الرئيسية: وهي الإجهادات العمودية القصوى (σ1 و σ2) وتحدث عندما يكون إجهاد القص صفراً. يمكن إيجادها على المحور الأفقي للدائرة.
- الإجهادات القصوى: وهي إجهادات القص القصوى (τmax) وتحدث عندما يكون الإجهاد العمودي يساوي σavg. يمكن إيجادها على المحور الرأسي للدائرة.
- اتجاهات الإجهادات الرئيسية: وهي الزوايا التي يجب تدوير المستوى فيها للحصول على الإجهادات الرئيسية. يمكن تحديدها باستخدام دائرة موهر.
قيود إجهاد المستوى
على الرغم من أن نموذج إجهاد المستوى مفيد في العديد من التطبيقات، إلا أنه يواجه بعض القيود:
- عدم الدقة في الأجسام السميكة: لا يوفر إجهاد المستوى نتائج دقيقة للأجسام التي لا يمكن اعتبار سمكها صغيراً.
- الافتراضات التقريبية: تعتمد الافتراضات التي يقوم عليها إجهاد المستوى على تبسيطات، وقد لا تعطي نتائج دقيقة في جميع الحالات.
- التأثيرات ثلاثية الأبعاد: في بعض الحالات، قد تلعب التأثيرات ثلاثية الأبعاد دورًا هامًا، مما يجعل نموذج إجهاد المستوى غير مناسب.
لذلك، من المهم اختيار النموذج المناسب بناءً على خصائص الجسم والقوى المؤثرة عليه. في الحالات التي لا تنطبق فيها افتراضات إجهاد المستوى، قد يلزم استخدام نماذج أكثر تعقيدًا، مثل إجهاد الفراغ (plane strain)، أو تحليل الإجهاد ثلاثي الأبعاد.
إجهاد الفراغ (Plane Strain)
إجهاد الفراغ هو مفهوم آخر في ميكانيكا الأوساط المتصلة، وهو يعتمد على افتراضات مختلفة عن إجهاد المستوى. في حالة إجهاد الفراغ، نفترض أن الانفعال في اتجاه واحد (عادةً ما يكون الاتجاه العمودي على السطح) يكون صفراً. هذا يعني أن الجسم مقيد من الحركة في هذا الاتجاه. يعتبر هذا النموذج مناسبًا للأجسام الطويلة ذات المقطع العرضي الثابت، مثل السدود أو الأنفاق.
بشكل عام، يمثل كل من إجهاد المستوى وإجهاد الفراغ تبسيطات مفيدة لتحليل سلوك المواد الصلبة. اختيار النموذج المناسب يعتمد على خصائص المشكلة التي يتم تحليلها.
تطبيقات إجهاد المستوى في الهندسة
يستخدم مفهوم إجهاد المستوى على نطاق واسع في مختلف مجالات الهندسة:
- الهندسة المدنية: في تحليل تصميم الجسور والأنفاق والأبنية ذات الألواح المسطحة.
- الهندسة الميكانيكية: في تصميم وتحليل الأجزاء الميكانيكية مثل الصفائح والأقراص والتروس.
- هندسة الطيران: في تصميم هيكل الطائرات، خاصةً الصفائح الرقيقة المستخدمة في الأجنحة والبدن.
- هندسة المواد: في دراسة سلوك المواد تحت تأثير القوى المختلفة.
باستخدام تحليل إجهاد المستوى، يمكن للمهندسين تقدير توزيع الإجهادات داخل المواد، وتحديد نقاط الضعف، وتصميم هياكل آمنة وفعالة.
الفرق بين إجهاد المستوى وإجهاد الفراغ
يختلف إجهاد المستوى عن إجهاد الفراغ في الافتراضات الأساسية:
- إجهاد المستوى: σz = 0
- إجهاد الفراغ: εz = 0
يعني هذا أن إجهاد المستوى يفترض أن الإجهاد في الاتجاه العمودي على السطح صفراً، في حين يفترض إجهاد الفراغ أن الانفعال في الاتجاه العمودي على السطح صفراً. وبالتالي، يتم استخدام كل نموذج في حالات مختلفة، بناءً على شكل الجسم وظروف التحميل.
خاتمة
يعد مفهوم إجهاد المستوى أداة أساسية في تحليل سلوك المواد الصلبة تحت تأثير القوى. إنه تبسيط مفيد يسمح للمهندسين بتبسيط المعادلات وتسهيل التحليل. يعتمد إجهاد المستوى على افتراض أن الإجهاد في اتجاه واحد يكون صفراً، مما يجعله مناسبًا للصفائح الرقيقة والألواح العريضة والأجزاء المسطحة. من المهم فهم الافتراضات والقيود المرتبطة بإجهاد المستوى لاختيار النموذج المناسب للتحليل الهندسي. يوفر هذا المقال نظرة عامة شاملة على إجهاد المستوى، بما في ذلك افتراضاته، ومعادلاته، وتطبيقاته، وكيفية التمييز بينه وبين إجهاد الفراغ.