<![CDATA[
تعريف دالة جاما
تعرف دالة جاما، والتي يُرمز لها بالرمز Γ(z)، بالشكل التالي:
Γ(z) = ∫0∞ tz-1e-t dt
حيث z عدد مركب شرط أن يكون الجزء الحقيقي منه أكبر من الصفر (Re(z) > 0). هذا التكامل يتقارب عندما يكون الجزء الحقيقي لـ z موجبًا. يمكن توسيع تعريف دالة جاما ليشمل جميع الأعداد المركبة باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة والصفر باستخدام الامتداد التحليلي.
العلاقة مع دالة المضروب
إحدى أهم خصائص دالة جاما هي علاقتها بدالة المضروب. بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة n، تتحقق العلاقة التالية:
Γ(n) = (n – 1)!
هذه العلاقة تجعل دالة جاما تعميمًا طبيعيًا لدالة المضروب، حيث يمكننا استخدام دالة جاما لحساب “مضروب” الأعداد غير الصحيحة. على سبيل المثال، Γ(3) = 2! = 2.
قيم خاصة هامة لدالة جاما
هناك بعض القيم الخاصة لدالة جاما التي تظهر بشكل متكرر في التطبيقات الرياضية والعلمية. من بين هذه القيم:
- Γ(1) = 1: هذه القيمة تتوافق مع مضروب الصفر (0! = 1).
- Γ(1/2) = √π: هذه القيمة مهمة جدًا وتظهر في العديد من التكاملات والاحتمالات.
- Γ(3/2) = (1/2)√π: يمكن حساب هذه القيمة باستخدام العلاقة التكرارية لدالة جاما.
- Γ(5/2) = (3/4)√π: قيمة أخرى يمكن حسابها بسهولة باستخدام العلاقة التكرارية.
العلاقة التكرارية لدالة جاما
تخضع دالة جاما لعلاقة تكرارية مهمة تسهل حساب قيمها. هذه العلاقة هي:
Γ(z + 1) = zΓ(z)
باستخدام هذه العلاقة، يمكننا حساب قيمة Γ(z + 1) إذا علمنا قيمة Γ(z). على سبيل المثال، إذا علمنا أن Γ(1/2) = √π، يمكننا حساب Γ(3/2) كالتالي:
Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)Γ(1/2) = (1/2)√π
وبالمثل، يمكننا حساب Γ(5/2) باستخدام Γ(3/2):
Γ(5/2) = Γ(3/2 + 1) = (3/2)Γ(3/2) = (3/2)(1/2)√π = (3/4)√π
حساب قيم دالة جاما للأعداد النصفية الصحيحة
بشكل عام، يمكن حساب قيم دالة جاما للأعداد النصفية الصحيحة (أي الأعداد التي تكون على الصورة n + 1/2 حيث n عدد صحيح) باستخدام العلاقة التالية:
Γ(n + 1/2) = [(2n)! / (4n n!)] √π
هذه العلاقة توفر طريقة مباشرة لحساب هذه القيم دون الحاجة إلى التكامل المباشر.
دالة جاما للأعداد السالبة
كما ذكرنا سابقًا، دالة جاما غير معرفة للأعداد الصحيحة السالبة والصفر. ومع ذلك، يمكن تمديد تعريفها ليشمل هذه الأعداد باستخدام الامتداد التحليلي. ينتج عن هذا التمديد وجود قطب بسيط (simple pole) عند كل عدد صحيح سالب وصفر. بمعنى آخر، تقترب قيمة دالة جاما من اللانهاية عندما تقترب z من أي عدد صحيح سالب أو صفر.
تطبيقات دالة جاما
لدالة جاما تطبيقات واسعة في مختلف المجالات. بعض هذه التطبيقات تشمل:
- الإحصاء والاحتمالات: تظهر دالة جاما في توزيعات احتمالية مهمة مثل توزيع جاما وتوزيع كاي تربيع.
- التحليل المركب: تستخدم دالة جاما في دراسة الدوال التحليلية والتكاملات المركبة.
- الفيزياء: تظهر دالة جاما في حسابات ميكانيكا الكم والفيزياء الإحصائية.
- نظرية الأعداد: تستخدم دالة جاما في دراسة دوال زيتا وغيرها من الدوال المتعلقة بالأعداد الأولية.
- الهندسة: تظهر دالة جاما في حساب حجوم ومساحات الأشكال الهندسية ذات الأبعاد العليا.
مثال على تطبيق دالة جاما في الإحصاء
توزيع جاما هو توزيع احتمالي مستمر يعتمد على دالة جاما. يُستخدم هذا التوزيع لنمذجة العديد من الظواهر، مثل أوقات الانتظار وأوقات الفشل. دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع جاما تعطى بالشكل التالي:
f(x; α, β) = (βα / Γ(α)) xα-1 e-βx
حيث α هو معلمة الشكل (shape parameter) و β هو معلمة المعدل (rate parameter). يتضح من هذه الدالة أن دالة جاما تلعب دورًا حاسمًا في تعريف توزيع جاما وخصائصه.
تمثيل دالة جاما كتكامل غير محدود
بالإضافة إلى التعريف الأساسي كتكامل محدود، يمكن تمثيل دالة جاما كتكامل غير محدود باستخدام صيغة وييرستراس (Weierstrass product form):
1 / Γ(z) = zeγz ∏n=1∞ (1 + z/n)e-z/n
حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني (Euler-Mascheroni constant). هذا التمثيل مفيد في بعض الحالات، خاصة عند التعامل مع قيم كبيرة لـ z.
دالة بيتا
ترتبط دالة جاما ارتباطًا وثيقًا بدالة أخرى تسمى دالة بيتا (Beta function)، والتي يُرمز لها بالرمز B(x, y). تعرف دالة بيتا بالشكل التالي:
B(x, y) = ∫01 tx-1 (1 – t)y-1 dt
يمكن التعبير عن دالة بيتا بدلالة دالة جاما باستخدام العلاقة التالية:
B(x, y) = Γ(x)Γ(y) / Γ(x + y)
دالة بيتا لها أيضًا تطبيقات واسعة في الإحصاء والاحتمالات والفيزياء.
دالة جاما غير الكاملة
بالإضافة إلى دالة جاما الكاملة، هناك أيضًا دالة جاما غير الكاملة (Incomplete Gamma function)، والتي تُعرف بالشكل التالي:
γ(a, x) = ∫0x ta-1 e-t dt
ودالة جاما غير الكاملة العليا:
Γ(a, x) = ∫x∞ ta-1 e-t dt
حيث γ(a, x) هي دالة جاما غير الكاملة السفلى، و Γ(a, x) هي دالة جاما غير الكاملة العليا. ترتبط هاتان الدالتان بدالة جاما الكاملة بالعلاقة:
Γ(a) = γ(a, x) + Γ(a, x)
دوال جاما غير الكاملة تستخدم في العديد من التطبيقات، بما في ذلك حساب الاحتمالات في توزيعات جاما وتوزيعات بواسون.
خاتمة
في الختام، دالة جاما هي دالة خاصة ذات أهمية كبيرة في الرياضيات والعلوم. تسمح لنا بتعميم مفهوم المضروب للأعداد غير الصحيحة وتظهر في العديد من الصيغ الرياضية والتوزيعات الاحتمالية. تعرفنا في هذا المقال على تعريف دالة جاما، وعلاقتها بدالة المضروب، وبعض القيم الخاصة الهامة لها، بالإضافة إلى تطبيقاتها المتنوعة في الإحصاء والتحليل المركب والفيزياء. كما استعرضنا العلاقة التكرارية لدالة جاما وكيفية حساب قيمها للأعداد النصفية الصحيحة. إن فهم دالة جاما وقيمها الخاصة يمثل إضافة قيمة لأي باحث أو طالب في العلوم الرياضية.