<![CDATA[
مقدمة
في الرياضيات، العدد الجبري هو أي عدد (حقيقي أو مركب) يكون جذرًا لكثير حدود غير صفري بمتغير واحد بمعاملات صحيحة (أو، بشكل مكافئ، معاملات نسبية). بمعنى آخر، العدد α هو عدد جبري إذا وُجد كثير حدود غير صفري بالشكل:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
حيث ai هي أعداد صحيحة (أو نسبية) و an ≠ 0، بحيث يكون P(α) = 0.
الأعداد التي ليست جبرية تسمى أعدادًا متسامية. تقريبا جميع الأعداد الحقيقية والمركبة هي أعداد متسامية.
أمثلة على الأعداد الجبرية
- الأعداد الصحيحة: أي عدد صحيح n هو عدد جبري، لأنه جذر لكثير الحدود x – n = 0.
- الأعداد النسبية: أي عدد نسبي p/q هو عدد جبري، لأنه جذر لكثير الحدود qx – p = 0.
- الجذور التربيعية للأعداد الصحيحة: على سبيل المثال، √2 هو عدد جبري، لأنه جذر لكثير الحدود x2 – 2 = 0. بشكل عام، √n هو عدد جبري لأي عدد صحيح n.
- الجذور التكعيبية للأعداد الصحيحة: على سبيل المثال، 3√5 هو عدد جبري، لأنه جذر لكثير الحدود x3 – 5 = 0.
- الأعداد المركبة التي يمكن التعبير عنها باستخدام الجذور: على سبيل المثال، 1 + √2i هو عدد جبري، لأنه جذر لكثير الحدود x4 – 2x2 + 9 = 0.
الأعداد المتسامية
العدد المتسامي هو عدد (حقيقي أو مركب) ليس جبريًا. بعبارة أخرى، هو عدد لا يمكن أن يكون جذرًا لأي كثير حدود غير صفري بمعاملات صحيحة (أو نسبية). أشهر الأمثلة على الأعداد المتسامية هما:
- π (باي): النسبة بين محيط الدائرة وقطرها. أثبت فرديناند فون ليندمان في عام 1882 أن π عدد متسامٍ.
- e (الأساس الطبيعي للوغاريتم): العدد الذي يساوي تقريبا 2.71828. أثبت شارل هيرمت في عام 1873 أن e عدد متسامٍ.
خصائص الأعداد الجبرية
تتمتع الأعداد الجبرية بعدة خصائص هامة، منها:
- تشكيل حقل: تشكل الأعداد الجبرية حقلًا، مما يعني أن جمع وطرح وضرب وقسمة أي عددين جبريين (باستثناء القسمة على صفر) ينتج عنه عدد جبري آخر.
- قابلية العد: مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد، مما يعني أنه يمكن وضعها في تطابق واحد لواحد مع مجموعة الأعداد الطبيعية.
- الكثافة في الأعداد الحقيقية: الأعداد الجبرية كثيفة في الأعداد الحقيقية، مما يعني أنه بين أي عددين حقيقيين مختلفين، يوجد عدد جبري.
إيجاد كثير الحدود الأدنى
لكل عدد جبري α، يوجد كثير حدود وحيد p(x) بمعاملات صحيحة بحيث يكون:
- p(α) = 0
- p(x) غير قابل للاختزال (أي لا يمكن تحليله إلى حاصل ضرب كثيري حدود بمعاملات صحيحة درجتهما أقل من درجة p(x)).
- المعامل الرئيسي لـ p(x) (معامل الحد ذو الدرجة الأعلى) موجب.
- p(x) له أقل درجة ممكنة بين جميع كثيرات الحدود التي تحقق الشروط الثلاثة أعلاه.
يسمى هذا الكثير الحدود كثير الحدود الأدنى للعدد الجبري α. درجة كثير الحدود الأدنى تسمى درجة العدد الجبري.
على سبيل المثال:
- العدد الجبري √2 له كثير حدود أدنى x2 – 2. وبالتالي، درجة √2 هي 2.
- العدد الجبري 3√5 له كثير حدود أدنى x3 – 5. وبالتالي، درجة 3√5 هي 3.
امتدادات الحقول الجبرية
امتداد الحقل الجبري هو امتداد حقل K/F حيث كل عنصر في K هو عدد جبري على F. بمعنى آخر، كل عنصر في K هو جذر لكثير حدود بمعاملات في F.
إذا كان α عددًا جبريًا على حقل F، فإن F(α) يمثل أصغر حقل يحتوي على F و α. الحقل F(α) هو امتداد جبري لـ F.
نظرية العنصر البدائي: تنص على أنه إذا كان K امتدادًا محدودًا للحقل F بدرجة n، وكان F يحتوي على عدد لانهائي من العناصر، فيوجد عنصر α في K بحيث K = F(α). يسمى α عنصرًا بدائيًا لـ K على F.
الأهمية
تلعب الأعداد الجبرية دورًا مهمًا في العديد من فروع الرياضيات، بما في ذلك:
- نظرية الأعداد: تستخدم الأعداد الجبرية في دراسة حلول المعادلات الديوفانتية.
- نظرية غالوا: تستخدم في دراسة حل المعادلات الجبرية باستخدام الجذور.
- الهندسة الجبرية: تستخدم في دراسة المنحنيات والأسطح الجبرية.
طرق تحديد ما إذا كان العدد جبريًا
تحديد ما إذا كان عدد معين جبريًا ليس دائمًا أمرًا سهلاً. هناك بعض الطرق التي يمكن استخدامها، ولكنها قد تكون معقدة:
- البحث عن كثير حدود: إذا كان بالإمكان إيجاد كثير حدود غير صفري بمعاملات صحيحة يكون العدد جذرًا له، فإن العدد يكون جبريًا.
- استخدام خصائص الأعداد الجبرية: إذا كان العدد ناتجًا عن عمليات جبرية (جمع، طرح، ضرب، قسمة، أخذ الجذور) على أعداد جبرية أخرى، فإنه أيضًا جبري.
- إثبات أنه ليس متساميًا: في بعض الحالات، قد يكون من الأسهل إثبات أن العدد ليس متساميًا. إذا لم يكن متساميًا، فإنه جبري بالضرورة. ومع ذلك، فإن إثبات التسامي غالبًا ما يكون صعبًا جدًا.
تطبيقات في علوم الحاسوب
على الرغم من أن الأعداد الجبرية هي مفهوم رياضي بحت، إلا أنها تجد بعض التطبيقات في علوم الحاسوب، وخاصة في المجالات التي تتطلب دقة حسابية عالية:
- الحسابات الرمزية: تستخدم الأعداد الجبرية في تمثيل الأعداد بدقة في برامج الحسابات الرمزية، حيث يتم التعامل معها كرموز جبرية بدلاً من تقريبها بأعداد عشرية.
- التحقق من صحة البرامج: يمكن استخدام الأعداد الجبرية في التحقق من صحة البرامج التي تتعامل مع العمليات الحسابية، وذلك من خلال التأكد من أن النتائج تتفق مع الخصائص الجبرية المعروفة.
- التعرف على الأنماط: في بعض خوارزميات التعرف على الأنماط، يمكن استخدام الأعداد الجبرية لتمثيل الخصائص المميزة للأنماط، مما يساعد على تحسين دقة التصنيف.
دراسة الأعداد الجبرية في العصر الحديث
لا تزال الأعداد الجبرية موضوعًا نشطًا للبحث في الرياضيات الحديثة. يركز الباحثون على جوانب مختلفة، بما في ذلك:
- نظرية جالوا العكسية: وهي مشكلة تبحث عما إذا كانت كل مجموعة منتهية يمكن أن تكون مجموعة جالوا لامتداد حقل للأعداد النسبية.
- الأشكال المعيارية: الأعداد الجبرية لها صلة وثيقة بالأشكال المعيارية، والتي هي وظائف تحليلية مع خصائص تناظر معينة.
- التحليل الدقيق: يدرس كيفية تقريب الأعداد المتسامية بالأعداد الجبرية، وله تطبيقات في نظرية الأعداد الحاسوبية.
خاتمة
الأعداد الجبرية هي مفهوم أساسي في الرياضيات، وهي الأعداد التي تكون جذورًا لكثيرات الحدود بمعاملات صحيحة. تشكل الأعداد الجبرية حقلًا قابلاً للعد وكثيفًا في الأعداد الحقيقية. الأعداد التي ليست جبرية تسمى أعدادًا متسامية. للأعداد الجبرية أهمية كبيرة في نظرية الأعداد، ونظرية غالوا، والهندسة الجبرية، ولها تطبيقات متزايدة في علوم الحاسوب.