مقدمة
في مجال التحليل العددي، تُعد طريقة جاوس-سيدل، المعروفة أيضًا بطريقة ليبمان أو طريقة الإزاحة المتتالية، خوارزمية تكرارية لحل نظام المعادلات الخطية. سميت هذه الطريقة على اسم عالمي الرياضيات الألمانيين كارل فريدريش جاوس ولودفيج سيدل، وهي مشابهة لطريقة جاكوبي، ولكن مع تحسين ملحوظ في سرعة التقارب في كثير من الحالات.
تعتبر طريقة جاوس-سيدل تحسينًا على طريقة جاكوبي، حيث تستخدم القيم التي تم حسابها حديثًا في التكرار الحالي على الفور لحساب القيم اللاحقة. هذا يقلل من عدد التكرارات اللازمة للوصول إلى الحل المطلوب، خاصة في الأنظمة ذات المصفوفات القطرية المهيمنة.
آلية عمل طريقة جاوس-سيدل
لفهم آلية عمل طريقة جاوس-سيدل، يجب أولاً فهم تمثيل نظام المعادلات الخطية في شكل مصفوفة. لنفترض أن لدينا نظامًا من المعادلات الخطية على النحو التالي:
Ax = b
حيث:
- A هي مصفوفة المعاملات.
- x هو متجه الحلول المجهولة.
- b هو متجه الثوابت.
تقوم طريقة جاوس-سيدل بحل هذا النظام بشكل تكراري عن طريق إعادة ترتيب المعادلات لحل كل متغير بدلالة المتغيرات الأخرى. بمعنى آخر، نقوم بعزل كل متغير في معادلة منفصلة.
لنفترض أن لدينا نظامًا من ثلاث معادلات بثلاثة مجاهيل:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
نعيد ترتيب هذه المعادلات على النحو التالي:
x1 = (b1 – a12x2 – a13x3) / a11
x2 = (b2 – a21x1 – a23x3) / a22
x3 = (b3 – a31x1 – a32x2) / a33
بعد ذلك، نبدأ بتخمين أولي للحل x (غالبًا ما يكون x = 0) ونقوم بتكرار العمليات التالية حتى نصل إلى التقارب:
- حساب قيمة x1 باستخدام القيم الحالية لـ x2 و x3.
- حساب قيمة x2 باستخدام القيمة المحسوبة حديثًا لـ x1 والقيمة الحالية لـ x3.
- حساب قيمة x3 باستخدام القيم المحسوبة حديثًا لـ x1 و x2.
نستمر في هذه العملية التكرارية حتى يصبح الفرق بين القيم المحسوبة في التكرار الحالي والقيم في التكرار السابق صغيرًا بما يكفي، أي حتى يتحقق شرط التقارب.
شروط التقارب
لا تضمن طريقة جاوس-سيدل التقارب دائمًا. تعتمد قابلية التقارب على خصائص مصفوفة المعاملات A. أحد الشروط الكافية للتقارب هو أن تكون المصفوفة A قطرية مهيمنة. هذا يعني أن القيمة المطلقة للعنصر القطري في كل صف يجب أن تكون أكبر من مجموع القيم المطلقة للعناصر الأخرى في نفس الصف.
رياضيًا، المصفوفة A تكون قطرية مهيمنة إذا كان:
|aii| > Σ |aij| لكل i، حيث j ≠ i
على الرغم من أن الهيمنة القطرية تضمن التقارب، إلا أن هناك حالات تتقارب فيها طريقة جاوس-سيدل حتى لو لم تكن المصفوفة قطرية مهيمنة. ومع ذلك، في هذه الحالات، قد يكون التقارب أبطأ أو قد يكون أكثر حساسية للتخمين الأولي.
مزايا وعيوب طريقة جاوس-سيدل
المزايا:
- سرعة التقارب: غالبًا ما تتقارب طريقة جاوس-سيدل أسرع من طريقة جاكوبي، خاصة في الأنظمة ذات المصفوفات القطرية المهيمنة.
- كفاءة الذاكرة: تتطلب طريقة جاوس-سيدل تخزين متجه واحد فقط للحل، بينما تتطلب طريقة جاكوبي تخزين متجهين (القيمة الحالية والقيمة السابقة).
العيوب:
- ليست مضمونة التقارب: لا تضمن طريقة جاوس-سيدل التقارب دائمًا، خاصة إذا لم تكن المصفوفة قطرية مهيمنة.
- الحساسية للترتيب: يمكن أن يؤثر ترتيب المعادلات في النظام على سرعة التقارب أو حتى على قابلية التقارب.
تطبيقات طريقة جاوس-سيدل
تستخدم طريقة جاوس-سيدل في مجموعة متنوعة من التطبيقات الهندسية والعلمية، بما في ذلك:
- حل معادلات التدفق في ميكانيكا الموائع: تستخدم لحساب توزيع الضغط والسرعة في شبكات الأنابيب.
- تحليل الدوائر الكهربائية: تستخدم لحساب التيارات والجهود في الدوائر المعقدة.
- نظم التحكم: تستخدم لحل معادلات الحالة في نظم التحكم الخطية.
- النمذجة المالية: تستخدم في حل بعض النماذج الرياضية في التمويل.
مثال توضيحي
لنفترض أن لدينا النظام الخطي التالي:
4x1 – x2 = 1
-x1 + 4x2 – x3 = 6
-x2 + 4x3 = 5
نعيد ترتيب المعادلات:
x1 = (1 + x2) / 4
x2 = (6 + x1 + x3) / 4
x3 = (5 + x2) / 4
نبدأ بالتخمين الأولي x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 ونقوم بالتكرار:
التكرار الأول:
x1 = (1 + 0) / 4 = 0.25
x2 = (6 + 0.25 + 0) / 4 = 1.5625
x3 = (5 + 1.5625) / 4 = 1.640625
التكرار الثاني:
x1 = (1 + 1.5625) / 4 = 0.640625
x2 = (6 + 0.640625 + 1.640625) / 4 = 2.0703125
x3 = (5 + 2.0703125) / 4 = 1.767578125
نستمر في هذه العملية حتى نصل إلى التقارب. بعد عدة تكرارات، سنجد أن الحل يتقارب إلى:
x1 ≈ 0.714
x2 ≈ 1.857
x3 ≈ 1.714
مقارنة مع طريقة جاكوبي
كما ذكرنا سابقًا، طريقة جاوس-سيدل هي تحسين على طريقة جاكوبي. الفرق الرئيسي بين الطريقتين هو أن طريقة جاوس-سيدل تستخدم القيم المحسوبة حديثًا في التكرار الحالي على الفور، بينما تستخدم طريقة جاكوبي القيم من التكرار السابق فقط.
هذا يعني أن طريقة جاوس-سيدل غالبًا ما تتقارب أسرع من طريقة جاكوبي. ومع ذلك، في بعض الحالات، قد تتقارب طريقة جاكوبي بينما تتباعد طريقة جاوس-سيدل. بشكل عام، تعتبر طريقة جاوس-سيدل الخيار الأفضل إذا كان من المتوقع أن تتقارب.
اعتبارات عملية
عند تطبيق طريقة جاوس-سيدل في الممارسة العملية، من المهم مراعاة ما يلي:
- اختيار التخمين الأولي: يمكن أن يؤثر التخمين الأولي على سرعة التقارب. في بعض الحالات، قد يكون من المفيد استخدام معلومات مسبقة حول الحل لاختيار تخمين أولي جيد.
- معيار التقارب: يجب تحديد معيار واضح لتحديد متى يتم إيقاف التكرار. غالبًا ما يستخدم معيار يعتمد على حجم التغيير في الحل بين التكرارات المتتالية.
- التحجيم المسبق: في بعض الحالات، قد يكون من المفيد تحجيم المعادلات قبل تطبيق طريقة جاوس-سيدل. يمكن أن يحسن التحجيم المسبق قابلية التقارب.
خاتمة
تُعد طريقة جاوس-سيدل أداة قوية لحل أنظمة المعادلات الخطية. بفضل سرعتها وكفاءتها في الذاكرة، تعتبر خيارًا شائعًا في العديد من التطبيقات الهندسية والعلمية. ومع ذلك، من المهم فهم شروط التقارب ومراعاة الاعتبارات العملية لضمان الحصول على حل دقيق وموثوق.