إحصاء اقتصاد قياسي تحليل البيانات سلاسل زمنية

تقدير كوكرين-أوركت (Cochrane–Orcutt Estimation)

- إحصاء, ارتباط تسلسلي, اقتصاد, انحدار, كوكرين-أوركت

مقدمة

تقدير كوكرين-أوركت هو إجراء إحصائي يستخدم في الاقتصاد القياسي لتعديل النموذج الخطي في حالة وجود ارتباط تسلسلي في حدود الخطأ. الارتباط التسلسلي، المعروف أيضًا بالارتباط الذاتي، يحدث عندما تكون الأخطاء في النموذج الإحصائي مرتبطة ببعضها البعض عبر الزمن. هذا يعني أن خطأ الفترة الحالية مرتبط بخطأ الفترة السابقة (أو الفترات السابقة)، مما يؤدي إلى تقديرات غير دقيقة لمعاملات النموذج ونتائج اختبار فرضيات غير موثوقة. تم تطوير هذا الإجراء بواسطة دونالد كوكرين وغاي أوركت في عام 1949.

مشكلة الارتباط التسلسلي

الارتباط التسلسلي يمثل تحديًا كبيرًا في تحليل السلاسل الزمنية والبيانات المجمعة. يحدث هذا الارتباط عندما تكون الأخطاء في نموذج الانحدار مرتبطة عبر الزمن. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة الخطأ في فترة زمنية معينة إيجابية، فمن المرجح أن تكون قيمة الخطأ في الفترة الزمنية التالية إيجابية أيضًا. هذه الظاهرة يمكن أن تنتج عن عدة أسباب، مثل:

  • عدم تضمين متغيرات مهمة: إذا لم يتم تضمين متغيرات تفسيرية مهمة في النموذج، فقد يتم التقاط تأثير هذه المتغيرات في الأخطاء، مما يؤدي إلى الارتباط التسلسلي.
  • القصور الذاتي: في بعض الظواهر الاقتصادية، قد يكون هناك قصور ذاتي يجعل القيم الحالية تعتمد على القيم السابقة، مما يؤدي إلى الارتباط التسلسلي في الأخطاء.
  • الأخطاء في القياس: إذا كانت هناك أخطاء في قياس المتغيرات، فقد تتسبب هذه الأخطاء في ظهور الارتباط التسلسلي.

إذا لم يتم التعامل مع الارتباط التسلسلي بشكل صحيح، يمكن أن يؤدي إلى مشاكل خطيرة في النموذج الإحصائي، بما في ذلك:

  • تقديرات غير فعالة: تقديرات المعاملات قد تكون غير فعالة، مما يعني أنها ليست الأكثر دقة أو موثوقية.
  • أخطاء معيارية متحيزة: الأخطاء المعيارية المقدرة قد تكون متحيزة، مما يؤدي إلى اختبارات فرضيات غير صحيحة.
  • استنتاجات خاطئة: بناءً على الأخطاء المعيارية المتحيزة، يمكن أن تؤدي إلى استنتاجات خاطئة حول أهمية المتغيرات المستقلة.

خطوات تقدير كوكرين-أوركت

تقدير كوكرين-أوركت هو إجراء تكراري يتضمن عدة خطوات لتقدير النموذج الخطي مع تصحيح الارتباط التسلسلي. الخطوات الرئيسية هي:

  1. تقدير النموذج الأولي: يتم أولاً تقدير النموذج الخطي الأصلي باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) دون تصحيح الارتباط التسلسلي. يتم استخدام هذا التقدير الأولي للحصول على تقديرات أولية للأخطاء.
  2. تقدير معامل الارتباط الذاتي (ρ): يتم حساب معامل الارتباط الذاتي من الأخطاء المقدرة من الخطوة الأولى. معامل الارتباط الذاتي (ρ) يقيس مدى ارتباط الأخطاء في الفترة الحالية بالأخطاء في الفترة السابقة. الصيغة الشائعة لتقدير ρ هي:

    ρ = Σ(et * et-1) / Σ(et-1^2)

    حيث et هي الأخطاء المقدرة في الفترة t.
  3. تحويل البيانات: يتم تحويل البيانات الأصلية باستخدام معامل الارتباط الذاتي المقدر. يتم تحويل كل متغير في النموذج (المتغير التابع والمتغيرات المستقلة) باستخدام الصيغة التالية:

    yt* = yt – ρyt-1

    xt* = xt – ρxt-1

    حيث yt هي قيمة المتغير التابع في الفترة t، و xt هي قيمة المتغير المستقل في الفترة t.
  4. تقدير النموذج المحول: يتم تقدير النموذج الخطي باستخدام البيانات المحولة باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS). هذا التقدير يعطي تقديرات جديدة للمعاملات بعد تصحيح الارتباط التسلسلي.
  5. التكرار: يتم تكرار الخطوات من 2 إلى 4 حتى يتقارب معامل الارتباط الذاتي (ρ). التقارب يحدث عندما تتغير قيمة ρ بين التكرارات بشكل طفيف جدًا.

مثال توضيحي

لنفترض أن لدينا النموذج الخطي التالي:

yt = β0 + β1xt + et

حيث yt هو المتغير التابع، و xt هو المتغير المستقل، و et هو الخطأ. لنفترض أيضًا أن هناك ارتباطًا تسلسليًا من الرتبة الأولى في الأخطاء، أي:

et = ρet-1 + ut

حيث ρ هو معامل الارتباط الذاتي، و ut هو خطأ أبيض (غير مرتبط). لتطبيق تقدير كوكرين-أوركت، نتبع الخطوات التالية:

  1. تقدير النموذج الأولي: نقوم بتقدير النموذج الأصلي باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية (OLS) للحصول على تقديرات أولية لـ β0 و β1 والأخطاء et.
  2. تقدير معامل الارتباط الذاتي (ρ): نحسب معامل الارتباط الذاتي ρ باستخدام الأخطاء المقدرة من الخطوة الأولى.
  3. تحويل البيانات: نحول البيانات الأصلية باستخدام معامل الارتباط الذاتي المقدر. على سبيل المثال، نحسب yt* و xt* باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه.
  4. تقدير النموذج المحول: نقوم بتقدير النموذج الخطي باستخدام البيانات المحولة. هذا يعطينا تقديرات جديدة لـ β0 و β1.
  5. التكرار: نكرر الخطوات من 2 إلى 4 حتى يتقارب معامل الارتباط الذاتي ρ.

بعد الانتهاء من هذه الخطوات، نحصل على تقديرات نهائية للمعاملات β0 و β1 التي تم تصحيحها للارتباط التسلسلي.

مزايا وعيوب تقدير كوكرين-أوركت

تقدير كوكرين-أوركت له العديد من المزايا والعيوب التي يجب مراعاتها عند استخدامه:

المزايا:

  • تصحيح الارتباط التسلسلي: يصحح الارتباط التسلسلي في الأخطاء، مما يؤدي إلى تقديرات أكثر دقة وفعالية للمعاملات.
  • بسيط وسهل التنفيذ: الإجراء بسيط نسبيًا وسهل التنفيذ باستخدام البرامج الإحصائية القياسية.
  • يقلل من التحيز: يقلل من التحيز في الأخطاء المعيارية، مما يؤدي إلى اختبارات فرضيات أكثر صحة.

العيوب:

  • يعتمد على افتراضات: يعتمد على افتراضات معينة، مثل أن الارتباط التسلسلي من الرتبة الأولى وأن النموذج الخطي صحيح. إذا لم تتحقق هذه الافتراضات، قد تكون النتائج غير موثوقة.
  • مشاكل في العينات الصغيرة: قد يواجه مشاكل في العينات الصغيرة، حيث قد تكون تقديرات ρ غير دقيقة.
  • التكرار: الإجراء تكراري، وقد يستغرق وقتًا طويلًا للوصول إلى التقارب، خاصة إذا كان الارتباط التسلسلي قويًا.
  • التحيز الناتج عن المتغيرات المتأخرة: استخدام القيم المتأخرة للمتغير التابع يمكن أن يقدم تحيزًا إذا كان هناك أخطاء قياس أو إذا كانت المتغيرات المتأخرة مرتبطة بالأخطاء.

بدائل لتقدير كوكرين-أوركت

هناك عدة بدائل لتقدير كوكرين-أوركت يمكن استخدامها لتصحيح الارتباط التسلسلي، بما في ذلك:

  • تقدير برايس-وينستين (Prais-Winsten Estimation): يشبه تقدير كوكرين-أوركت ولكنه يستخدم طريقة مختلفة لتقدير النموذج في التكرار الأول. يعتبر تقدير برايس-وينستين أكثر كفاءة من تقدير كوكرين-أوركت في بعض الحالات.
  • طريقة هانسن (Hansen’s GMM): تستخدم طريقة العزوم المعممة (GMM) لتقدير النموذج مع تصحيح الارتباط التسلسلي. تعتبر طريقة هانسن أكثر مرونة من تقدير كوكرين-أوركت لأنها لا تعتمد على افتراضات محددة حول شكل الارتباط التسلسلي.
  • نماذج المتجهات ذات الانحدار الذاتي (VAR): يمكن استخدام نماذج VAR لتحليل السلاسل الزمنية المتعددة مع الأخذ في الاعتبار الارتباط التسلسلي بين المتغيرات.
  • استخدام الأخطاء المعيارية المتينة (Robust Standard Errors): بدلاً من تصحيح النموذج مباشرةً، يمكن استخدام الأخطاء المعيارية المتينة التي تكون مقاومة للارتباط التسلسلي. هذه الطريقة لا تغير تقديرات المعاملات ولكنها توفر أخطاء معيارية أكثر دقة.

تطبيقات عملية

تقدير كوكرين-أوركت يستخدم على نطاق واسع في الاقتصاد القياسي والتحليل الإحصائي لتصحيح الارتباط التسلسلي في البيانات. بعض التطبيقات العملية تشمل:

  • تحليل السلاسل الزمنية الاقتصادية: يستخدم في تحليل السلاسل الزمنية الاقتصادية مثل الناتج المحلي الإجمالي والتضخم وأسعار الفائدة.
  • تحليل أسواق المال: يستخدم في تحليل أسواق المال لتقدير نماذج التسعير وتقييم المخاطر.
  • التنبؤ الاقتصادي: يستخدم في التنبؤ الاقتصادي لتحسين دقة التنبؤات.
  • تقييم السياسات: يستخدم في تقييم السياسات الاقتصادية لتحديد تأثير السياسات على المتغيرات الاقتصادية المختلفة.
  • دراسات الأثر البيئي: يستخدم في دراسات الأثر البيئي لتقييم تأثير التغيرات البيئية على المتغيرات الاقتصادية والاجتماعية.

اعتبارات هامة

عند استخدام تقدير كوكرين-أوركت، هناك بعض الاعتبارات الهامة التي يجب أخذها في الاعتبار:

  • التحقق من صحة الافتراضات: يجب التحقق من صحة الافتراضات الأساسية للنموذج، مثل أن الارتباط التسلسلي من الرتبة الأولى وأن النموذج الخطي صحيح. يمكن استخدام اختبارات إحصائية مختلفة للتحقق من هذه الافتراضات.
  • فحص البواقي: بعد تقدير النموذج، يجب فحص البواقي (الأخطاء المقدرة) للتأكد من أنها لا تزال تظهر أي نمط من الارتباط التسلسلي. إذا كان هناك ارتباط تسلسلي متبقي، قد يكون من الضروري استخدام طريقة مختلفة أو تعديل النموذج.
  • التعامل مع القيم المتطرفة: يجب التعامل مع القيم المتطرفة في البيانات، حيث يمكن أن تؤثر على تقديرات المعاملات ومعامل الارتباط الذاتي.
  • مقارنة النتائج مع طرق أخرى: يجب مقارنة النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام تقدير كوكرين-أوركت مع النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام طرق أخرى لتصحيح الارتباط التسلسلي. هذا يساعد على التأكد من أن النتائج موثوقة ومتسقة.

خاتمة

تقدير كوكرين-أوركت هو أداة قيمة في الاقتصاد القياسي لتصحيح الارتباط التسلسلي في البيانات. على الرغم من أنه بسيط وسهل التنفيذ، إلا أنه من المهم فهم الافتراضات والقيود المرتبطة به. يجب على الباحثين والمحللين التأكد من أن النموذج مناسب للبيانات وأن النتائج موثوقة قبل استخلاص أي استنتاجات.

المراجع

مقالات مرتبطة