خوارزمية بيرنت-هال-هال-هاوسمان (Berndt–Hall–Hall–Hausman algorithm)

<![CDATA[

مقدمة

تعتبر خوارزمية بيرنت-هال-هال-هاوسمان (Berndt–Hall–Hall–Hausman algorithm) أو اختصارًا BHHH، طريقة عددية لتحسين الدوال، وهي مشابهة لخوارزمية نيوتن-رافسون (Newton–Raphson algorithm). تستخدم هذه الخوارزمية على نطاق واسع في الاقتصاد القياسي والإحصاء لتقدير معلمات النماذج المختلفة، خاصةً في سياق تقدير الاحتمال الأقصى (Maximum Likelihood Estimation – MLE).

الأصل والتطوير

تم تطوير خوارزمية BHHH في الأصل من قبل إرنست بيرنت، وهالبرت هال، وروبرت هال، وجيري هاوسمان، ونُشرت في ورقة بحثية عام 1974. كانت الفكرة الأساسية هي إنشاء طريقة فعالة لتقدير معلمات النماذج الإحصائية المعقدة، حيث قد تكون الطرق التحليلية التقليدية غير ممكنة أو مكلفة حسابيًا. تستفيد الخوارزمية من المعلومات المتوفرة في دالة الاحتمال اللوغاريتمي (log-likelihood function) لتقريب الحل الأمثل.

المبادئ الأساسية

تعتمد خوارزمية BHHH على مبادئ التحسين العددي، وتسعى إلى إيجاد القيم المثلى للمعلمات التي تزيد من دالة الاحتمال اللوغاريتمي. إليك بعض المبادئ الأساسية التي تقوم عليها الخوارزمية:

• التقدير الأولي: تبدأ الخوارزمية بتقدير أولي للمعلمات. يمكن أن يكون هذا التقدير عشوائيًا أو مستندًا إلى معلومات مسبقة حول النموذج.
• التكرار: تقوم الخوارزمية بتكرار عملية التحديث للمعلمات حتى تتحقق شروط التقارب. في كل تكرار، يتم حساب تقدير جديد للمعلمات بناءً على المعلومات المتوفرة في دالة الاحتمال اللوغاريتمي.
• تحديث المعلمات: يتم تحديث المعلمات باستخدام صيغة تعتمد على المشتقات الأولى (gradient) والثانية (Hessian) لدالة الاحتمال اللوغاريتمي. في خوارزمية BHHH، يتم استخدام تقريب للمشتقة الثانية بدلاً من الحساب المباشر لها، مما يقلل من التكلفة الحسابية.
• التقارب: تتوقف الخوارزمية عندما يتحقق شرط التقارب، مثل أن يكون التغير في قيم المعلمات بين التكرارات المتعاقبة صغيرًا جدًا، أو أن يكون التغير في قيمة دالة الاحتمال اللوغاريتمي صغيرًا جدًا.

آلية العمل

لفهم كيفية عمل خوارزمية BHHH بشكل أفضل، يمكن تقسيمها إلى الخطوات التالية:

1. الخطوة الأولى: ابدأ بتقدير أولي للمعلمات، وليكن β₀.
2. الخطوة الثانية: في كل تكرار t، احسب المشتقة الأولى لدالة الاحتمال اللوغاريتمي (gradient) عند التقدير الحالي βₜ. لنفترض أن دالة الاحتمال اللوغاريتمي هي L(β).
3. الخطوة الثالثة: قم بتقريب المشتقة الثانية (Hessian) باستخدام المشتقات الأولى. في خوارزمية BHHH، يتم استخدام المصفوفة التالية لتقريب Hessian:

   H(β) ≈ Σ [∂Lᵢ(β) / ∂β] [∂Lᵢ(β) / ∂β]ᵀ

   حيث Lᵢ(β) هو الاحتمال اللوغاريتمي للملاحظة i، والمجموع يتم حسابه على جميع الملاحظات.

4. الخطوة الرابعة: قم بتحديث التقدير باستخدام الصيغة التالية:

   βₜ₊₁ = βₜ – H(β)⁻¹ ∇L(β)

   حيث ∇L(β) هو المشتق الأول لدالة الاحتمال اللوغاريتمي (gradient).

5. الخطوة الخامسة: تحقق من شرط التقارب. إذا تحقق الشرط، توقف. وإلا، ارجع إلى الخطوة الثانية.

المقارنة مع خوارزمية نيوتن-رافسون

تتشابه خوارزمية BHHH مع خوارزمية نيوتن-رافسون في أنها تستخدم المشتقات الأولى والثانية لدالة الهدف (في هذه الحالة، دالة الاحتمال اللوغاريتمي) لتحديث التقديرات. ومع ذلك، هناك فرق رئيسي بينهما يكمن في كيفية حساب المشتقة الثانية (Hessian). في خوارزمية نيوتن-رافسون، يتم حساب Hessian مباشرةً، بينما في خوارزمية BHHH، يتم تقريب Hessian باستخدام المشتقات الأولى. هذا التقريب يقلل من التكلفة الحسابية، خاصةً في النماذج المعقدة التي تحتوي على عدد كبير من المعلمات.

مزايا وعيوب

كما هو الحال مع أي خوارزمية تحسين، فإن لخوارزمية BHHH مزايا وعيوب:

المزايا:

• الكفاءة الحسابية: تقريب Hessian يقلل من التكلفة الحسابية، مما يجعل الخوارزمية مناسبة للنماذج المعقدة.
• الاستقرار: في بعض الحالات، قد تكون خوارزمية BHHH أكثر استقرارًا من خوارزمية نيوتن-رافسون، خاصةً عندما تكون Hessian غير محددة أو قريبة من التفرد.
• التطبيق الواسع: تستخدم على نطاق واسع في الاقتصاد القياسي والإحصاء لتقدير معلمات النماذج المختلفة.

العيوب:

• التقارب البطيء: في بعض الحالات، قد تتقارب خوارزمية BHHH ببطء مقارنة بخوارزمية نيوتن-رافسون.
• الحساسية للتقديرات الأولية: قد تكون الخوارزمية حساسة للتقديرات الأولية، وقد تتقارب إلى حلول محلية بدلاً من الحل الأمثل العام.
• الاعتماد على جودة دالة الاحتمال اللوغاريتمي: تعتمد الخوارزمية على جودة دالة الاحتمال اللوغاريتمي، وإذا كانت الدالة غير سلسة أو تحتوي على نقاط عدم اشتقاق، فقد تواجه الخوارزمية صعوبات في التقارب.

التطبيقات

تستخدم خوارزمية BHHH في مجموعة واسعة من التطبيقات في الاقتصاد القياسي والإحصاء، بما في ذلك:

• تقدير نماذج الانحدار اللوجستي (Logistic Regression): تستخدم لتقدير معلمات نماذج الانحدار اللوجستي، والتي تستخدم للتنبؤ بالاحتمالات.
• تقدير نماذج الانحدار الاحتمالي (Probit Regression): تستخدم لتقدير معلمات نماذج الانحدار الاحتمالي، والتي تستخدم أيضًا للتنبؤ بالاحتمالات.
• تقدير نماذج سلسلة ماركوف الكامنة (Hidden Markov Models – HMM): تستخدم لتقدير معلمات نماذج HMM، والتي تستخدم لنمذجة البيانات الزمنية.
• تقدير نماذج المعادلات الآنية (Simultaneous Equations Models): تستخدم لتقدير معلمات نماذج المعادلات الآنية، والتي تستخدم لنمذجة العلاقات بين المتغيرات المتعددة في نفس الوقت.
• تحليل البقاء (Survival Analysis): تستخدم لتقدير نماذج تحليل البقاء، والتي تستخدم لنمذجة الوقت حتى وقوع حدث معين.

مثال توضيحي

لنفترض أننا نريد تقدير معلمات نموذج انحدار لوجستي باستخدام خوارزمية BHHH. لدينا مجموعة بيانات تتكون من متغير تابع ثنائي (y) ومتغير مستقل واحد (x). دالة الاحتمال اللوغاريتمي للنموذج هي:

L(β) = Σ [yᵢ log(pᵢ) + (1 – yᵢ) log(1 – pᵢ)]

حيث pᵢ هو الاحتمال المتوقع للملاحظة i، ويتم حسابه باستخدام الدالة اللوجستية:

pᵢ = 1 / (1 + exp(-β₀ – β₁xᵢ))

لتقدير المعلمات β₀ و β₁، يمكننا استخدام خوارزمية BHHH. نبدأ بتقدير أولي للمعلمات، ثم نكرر عملية التحديث حتى تتحقق شروط التقارب. في كل تكرار، نحسب المشتقات الأولى لدالة الاحتمال اللوغاريتمي، ونقوم بتقريب Hessian باستخدام المشتقات الأولى، ثم نقوم بتحديث التقديرات باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه.

اعتبارات عملية

عند استخدام خوارزمية BHHH، هناك بعض الاعتبارات العملية التي يجب أخذها في الاعتبار:

• اختيار التقديرات الأولية: يمكن أن يؤثر اختيار التقديرات الأولية بشكل كبير على أداء الخوارزمية. يفضل استخدام تقديرات أولية معقولة بناءً على معلومات مسبقة حول النموذج.
• اختيار معايير التقارب: يجب اختيار معايير التقارب بعناية لضمان أن الخوارزمية تتقارب إلى حل جيد. يمكن استخدام معايير متعددة، مثل التغير في قيم المعلمات والتغير في قيمة دالة الاحتمال اللوغاريتمي.
• التحقق من صحة النتائج: يجب التحقق من صحة النتائج التي تم الحصول عليها باستخدام خوارزمية BHHH. يمكن القيام بذلك عن طريق مقارنة النتائج مع نتائج طرق تقدير أخرى، أو عن طريق إجراء اختبارات حساسية لتقييم تأثير التغيرات في التقديرات الأولية على النتائج النهائية.
• معالجة المشاكل المحتملة: قد تواجه الخوارزمية مشاكل مثل التقارب البطيء أو التقارب إلى حلول محلية. في هذه الحالات، يمكن تجربة استراتيجيات مختلفة، مثل تغيير التقديرات الأولية أو استخدام طرق تحسين أخرى.

استخدام البرمجيات

تتوفر خوارزمية BHHH في العديد من حزم البرمجيات الإحصائية والاقتصاد القياسي، مثل:

• R: يمكن استخدام حزمة `maxLik` في R لتنفيذ خوارزمية BHHH.
• Python: يمكن استخدام مكتبة `statsmodels` في Python لتنفيذ خوارزمية BHHH.
• Stata: تدعم Stata خوارزمية BHHH كجزء من إجراءات الاحتمال الأقصى الخاصة بها.
• MATLAB: يمكن تنفيذ خوارزمية BHHH في MATLAB باستخدام وظائف التحسين المتاحة.

عند استخدام هذه الحزم البرمجية، يجب التأكد من فهم كيفية عمل الخوارزمية وكيفية ضبط المعلمات المختلفة لتحقيق أفضل النتائج.

خاتمة

تعتبر خوارزمية بيرنت-هال-هال-هاوسمان (BHHH) أداة قوية لتقدير معلمات النماذج الإحصائية المعقدة، خاصةً في سياق تقدير الاحتمال الأقصى. تتميز بالكفاءة الحسابية والاستقرار، وتستخدم على نطاق واسع في الاقتصاد القياسي والإحصاء. ومع ذلك، يجب أن يكون المستخدمون على دراية بالمزايا والعيوب والاعتبارات العملية المرتبطة بالخوارزمية لضمان الحصول على نتائج دقيقة وموثوقة. من خلال فهم المبادئ الأساسية للخوارزمية وكيفية عملها، يمكن للمحللين والباحثين الاستفادة من هذه الأداة القيمة في مجموعة متنوعة من التطبيقات.

المراجع

• Berndt, E. K., Hall, B. H., Hall, R. E., & Hausman, J. A. (1974). Estimation and inference in nonlinear structural models. Annals of Economic and Social Measurement, 3(4), 653-665.
• StackExchange: Difference between Newton-Raphson and BHHH
• Wikipedia: Davidon–Fletcher–Powell formula
• MathWorks: fminunc Optimization

]]>