الأعداد العقدية
العدد العقدي هو عدد يمكن التعبير عنه في الصورة a + bi، حيث a و b أعداد حقيقية، و i هي الوحدة التخيلية التي تحقق المعادلة i² = -1. العدد a يسمى الجزء الحقيقي، والعدد b يسمى الجزء التخيلي. يمكن تمثيل الأعداد العقدية كنقاط في مستوى يسمى المستوى العقدي، حيث يمثل المحور الأفقي الجزء الحقيقي والمحور الرأسي الجزء التخيلي. يتمتع هذا التمثيل الهندسي بأهمية كبيرة في فهم خصائص الدوال العقدية.
- الجمع والطرح: يتم جمع وطرح الأعداد العقدية عن طريق جمع أو طرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية على حدة.
- الضرب: يتم ضرب الأعداد العقدية باستخدام خاصية التوزيع، مع الأخذ في الاعتبار أن i² = -1.
- القسمة: يتم قسمة الأعداد العقدية عن طريق ضرب كل من البسط والمقام بمرافق المقام.
الدوال العقدية
الدالة العقدية هي دالة تأخذ عددًا عقديًا كمدخل وتعطي عددًا عقديًا كمخرج. يمكن التعبير عن الدالة العقدية في الصورة f(z) = u(x, y) + iv(x, y)، حيث z = x + iy، و u(x, y) و v(x, y) هما دالتان حقيقيتان لمتغيرين حقيقيين. دراسة خصائص هذه الدوال، مثل الاستمرارية والاشتقاق، تشكل جوهر التحليل العقدي.
الاستمرارية والاشتقاق
تكون الدالة العقدية f(z) مستمرة عند النقطة z₀ إذا كان lim(z→z₀) f(z) = f(z₀). يجب أن يكون هذا التعريف دقيقًا، مع الانتباه إلى أن z تقترب من z₀ من أي اتجاه في المستوى العقدي.
تكون الدالة العقدية f(z) قابلة للاشتقاق عند النقطة z₀ إذا كانت النهاية التالية موجودة:
f'(z₀) = lim(h→0) [f(z₀ + h) – f(z₀)] / h
حيث h عدد عقدي. إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند كل نقطة في مجموعة مفتوحة، فإنها تسمى دالة تحليلية أو دالة تامة الشكل (holomorphic function) في تلك المجموعة.
معادلات كوشي-ريمان
معادلات كوشي-ريمان هي مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية التي تربط بين المشتقات الجزئية للدالتين u(x, y) و v(x, y) اللتين تمثلان الجزء الحقيقي والتخيلي للدالة العقدية f(z) = u(x, y) + iv(x, y). تُعطى هذه المعادلات بالصورة:
- ∂u/∂x = ∂v/∂y
- ∂u/∂y = -∂v/∂x
تعتبر معادلات كوشي-ريمان شرطًا ضروريًا (ولكن ليس كافيًا) لكي تكون الدالة العقدية قابلة للاشتقاق. بمعنى آخر، إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق، فإنها تحقق معادلات كوشي-ريمان. إذا كانت معادلات كوشي-ريمان محققة بالإضافة إلى استمرارية المشتقات الجزئية، فإن الدالة تكون قابلة للاشتقاق.
التكامل العقدي
التكامل العقدي هو تعميم للتكامل الحقيقي ليشمل الدوال العقدية. يتم تعريف التكامل العقدي على طول مسار في المستوى العقدي. المسار هو منحنى موجه، ويمكن أن يكون قطعة مستقيمة أو قوسًا من دائرة أو أي منحنى آخر قابل للتفاضل بشكل كافٍ. يُعطى التكامل العقدي للدالة f(z) على طول المسار C بالصورة:
∫C f(z) dz
لحساب هذا التكامل، يتم عادةً تمثيل المسار C باستخدام دالة وسيطية z(t)، حيث t هو متغير حقيقي يتراوح بين قيمتين a و b. ثم يتم تحويل التكامل العقدي إلى تكامل حقيقي باستخدام الصيغة:
∫C f(z) dz = ∫a b f(z(t)) z'(t) dt
نظرية كوشي للتكامل
نظرية كوشي للتكامل هي واحدة من أهم النتائج في التحليل العقدي. تنص النظرية على أنه إذا كانت الدالة f(z) تحليلية داخل وعلى مسار مغلق بسيط C، فإن تكامل الدالة على طول هذا المسار يساوي صفرًا:
∫C f(z) dz = 0
تعتبر هذه النظرية أساسًا للعديد من النتائج الأخرى في التحليل العقدي، مثل صيغة كوشي التكاملية ونظرية البواقي.
صيغة كوشي التكاملية
صيغة كوشي التكاملية هي نتيجة قوية تسمح بحساب قيمة دالة تحليلية عند نقطة داخل مسار مغلق بسيط C، بمعرفة قيم الدالة على طول هذا المسار. تنص الصيغة على أنه إذا كانت f(z) دالة تحليلية داخل وعلى مسار مغلق بسيط C، و z₀ هي نقطة داخل C، فإن:
f(z₀) = (1 / 2πi) ∫C f(z) / (z – z₀) dz
يمكن تعميم هذه الصيغة لحساب مشتقات الدالة f(z) عند النقطة z₀.
نظرية البواقي
نظرية البواقي هي أداة قوية لحساب التكاملات العقدية. تنص النظرية على أنه إذا كانت f(z) دالة تحليلية داخل وعلى مسار مغلق بسيط C، باستثناء عدد محدود من النقاط الشاذة z₁, z₂, …, zn داخل C، فإن:
∫C f(z) dz = 2πi ∑(k=1 to n) Res(f, zk)
حيث Res(f, zk) هو باقية الدالة f(z) عند النقطة الشاذة zk. باقية الدالة عند نقطة شاذة هي معامل الحد (z – zk)^(-1) في مفكوك لوران للدالة حول تلك النقطة.
متسلسلات لوران
متسلسلة لوران هي تعميم لمتسلسلة تايلور يسمح بتمثيل الدوال العقدية حول النقاط الشاذة. يمكن التعبير عن متسلسلة لوران للدالة f(z) حول النقطة z₀ في الصورة:
f(z) = ∑(n=-∞ to ∞) an (z – z₀)^n
حيث an هي معاملات المتسلسلة. تتقارب متسلسلة لوران في حلقة دائرية حول النقطة z₀، ولا تتقارب داخل النقطة الشاذة نفسها.
تطبيقات التحليل العقدي
للتحليل العقدي تطبيقات واسعة النطاق في مختلف المجالات، بما في ذلك:
- حل المعادلات التفاضلية: يمكن استخدام التحليل العقدي لحل بعض أنواع المعادلات التفاضلية، وخاصة المعادلات التفاضلية الجزئية.
- حساب التكاملات الحقيقية: يمكن استخدام نظرية البواقي لحساب بعض أنواع التكاملات الحقيقية التي يصعب حسابها بالطرق التقليدية.
- نظرية الأعداد: يلعب التحليل العقدي دورًا مهمًا في نظرية الأعداد، وخاصة في دراسة دوال زيتا لريمان.
- ميكانيكا الموائع: يستخدم التحليل العقدي في دراسة تدفق الموائع، وخاصة التدفقات ثنائية الأبعاد.
- الكهرباء والمغناطيسية: يستخدم التحليل العقدي في تحليل الدوائر الكهربائية والمجالات الكهرومغناطيسية.
- فيزياء الكم: يستخدم التحليل العقدي في دراسة الدوال الموجية واحتمالات الانتقال.
خاتمة
التحليل العقدي هو فرع حيوي من الرياضيات يقدم مجموعة أدوات قوية لحل المشكلات في مختلف المجالات. من خلال دراسة الدوال العقدية وخصائصها، يمكننا الحصول على رؤى عميقة حول العديد من الظواهر الفيزيائية والهندسية. من الأعداد العقدية إلى نظرية البواقي، يوفر هذا المجال إطارًا رياضيًا متكاملًا لفهم العالم من حولنا.