<![CDATA[
مقدمة
الهندسة الريمانية هي فرع من فروع الهندسة التفاضلية يدرس الفضاءات الريمانية، وهي تنوعات سلسة متعددة (manifolds) مزودة بمترية ريمانية. المترية الريمانية تسمح لنا بقياس الأطوال والزوايا، وبالتالي تعريف مفاهيم مثل الطول، المساحة، الحجم، والانحناء. يعتمد هذا المقال على استخدام تدوين أينشتاين للتبسيط. تدوين أينشتاين، باختصار، يتضمن افتراض الجمع على المؤشرات المتكررة. على سبيل المثال، تعني عبارة aᵢbᵢ مجموع a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ. هذه المقالة تقدم قائمة بصيغ أساسية في الهندسة الريمانية، والتي تُستخدم على نطاق واسع في مجالات الفيزياء والرياضيات.
المترية الريمانية (Metric Tensor)
المترية الريمانية، g، هي جوهر الهندسة الريمانية. إنها موتر متماثل (symmetric tensor) من الرتبة الثانية، تحدد جداءً داخليًا على كل مساحة مماسية في كل نقطة من الفضاء. يمكننا كتابة المترية الريمانية في الإحداثيات على النحو التالي:
g = gij dxi ⊗ dxj
حيث gij هي مركبات المترية في نظام إحداثيات معين، و dxi هي أساسيات الإحداثيات.
الخصائص الأساسية:
- التماثل: gij = gji
- قابلة للعكس: يوجد موتر عكسي، gij، بحيث أن gikgkj = δij حيث δ هي دالة دلتا كرونكر (Kronecker delta).
الصيغ الهامة المتعلقة بالمترية:
- طول المنحنى γ: L(γ) = ∫ √(gij(x(t)) * dxi/dt * dxj/dt) dt
- المسافة بين نقطتين: هي أقصر طول لمنحنى يصل بينهما.
- حجم الفضاء: V = ∫√(det(gij)) dx¹ dx² … dxⁿ
اتصال ليفي-سيفيتًا (Levi-Civita Connection)
اتصال ليفي-سيفيتًا هو اتصال (connection) متوافق مع المترية وخالٍ من الالتواء (torsion-free). يحدد هذا الاتصال كيفية أخذ الاشتقاق المتوازي (parallel transport) للموتر على طول منحنى في الفضاء. يعطى بواسطة رموز كريستوفيل (Christoffel symbols):
Γkij = ½ gkl(∂gil/∂xj + ∂gjl/∂xi – ∂gij/∂xl)
حيث ∂ تعبر عن الاشتقاق الجزئي.
الخصائص الأساسية:
- التوافق مع المترية: ∇g = 0، حيث ∇ هو الاشتقاق التوافقي (covariant derivative).
- خالٍ من الالتواء: Γkij = Γkji
الصيغ الهامة المتعلقة بالاتصال:
- الاشتقاق التوافقي للموتر: ∇iTjk = ∂Tjk/∂xi + ΓjliTlk + ΓkliTjl
- الاشتقاق التوافقي لمتجه: ∇iVj = ∂Vj/∂xi + ΓjikVk
الانحناء الريماني (Riemann Curvature Tensor)
موتر الانحناء الريماني، R، يقيس انحناء الفضاء الريماني. إنه موتر من الرتبة الرابعة يعطي معلومات حول كيفية اختلاف المتجهات عند نقلها متوازياً على طول مسارات مختلفة. يمكن تعريفه باستخدام اتصال ليفي-سيفيتًا:
Rklij = ∂Γkjl/∂xi – ∂Γkil/∂xj + ΓkmiΓmjl – ΓkmjΓmil
الخصائص الأساسية:
- التماثل الهيكلي: Rijkl = -Rjikl
- التماثل المعكوس: Rijkl = -Rijlk
- هوية بيانكي الأولى: Rijkl + Rjkil + Rkijl = 0
- هوية بيانكي الثانية: ∇kRijkl + ∇jRiklk + ∇lRijk = 0
الصيغ الهامة المتعلقة بالانحناء:
- متجه ريتشي (Ricci tensor): Rij = Rkikj
- قياس ريتشي (Ricci scalar): R = gijRij
- موتر أينشتاين (Einstein tensor): Gij = Rij – ½Rgij
الانحناء السطحي (Sectional Curvature)
الانحناء السطحي، K(X, Y)، يقيس الانحناء في مستوى ثنائي الأبعاد (plane) تحدده متجهان مماسَّان (tangent vectors) مستقلان خطيًا، X و Y. يعطى بواسطة:
K(X, Y) = R(X, Y, X, Y) / (g(X, X)g(Y, Y) – g(X, Y)²)
حيث R(X, Y, X, Y) = RijklXiYjXkYl.
الخصائص الأساسية:
- يحدد الانحناء في كل نقطة في الفضاء.
- إذا كان الانحناء السطحي ثابتًا في جميع النقاط وجميع الاتجاهات، فإن الفضاء يكون ذا انحناء ثابت (constant curvature).
الجيوديسية (Geodesics)
الجيوديسية هي منحنى يمثل “أقصر مسافة” بين نقطتين في الفضاء. يمكن تعريفها على أنها مسار ذو انحناء معدوم. معادلة الجيوديسية تعطى بواسطة:
d²xk/dt² + Γkij(dxi/dt)(dxj/dt) = 0
حيث t هو معلمة المسار.
الخصائص الأساسية:
- تمثل تعميمًا لخطوط مستقيمة في الفضاءات المسطحة.
- يمكن استخدامها لحساب المسافات في الهندسة الريمانية.
الصيغ الهامة المتعلقة بالجيوديسية:
- الطول على طول الجيوديسية: L = ∫√(gij dxi/dt dxj/dt) dt
الاشتقاق التوافقي (Covariant Derivative)
الاشتقاق التوافقي، ∇، هو أداة أساسية في الهندسة التفاضلية، تسمح لنا بأخذ مشتقات المتجهات والموترات في الفضاءات المنحنية. إنه يعمم مفهوم الاشتقاق الجزئي. بالنسبة لمتجه V، يعطى الاشتقاق التوافقي:
∇iVj = ∂Vj/∂xi + ΓjikVk
الخصائص الأساسية:
- يتوافق مع المترية: ∇g = 0
- يستوفي قاعدة ليبنيز (Leibniz rule).
الصيغ الهامة المتعلقة بالاشتقاق التوافقي:
- الاشتقاق التوافقي للموتر: ∇iTjk = ∂Tjk/∂xi + ΓjliTlk + ΓkliTjl
أمثلة على الفضاءات الريمانية
هناك العديد من الأمثلة على الفضاءات الريمانية، ولكل منها خصائص انحناء فريدة. بعض الأمثلة تشمل:
- الفضاء الإقليدي (Euclidean space): هو الفضاء الذي نعرفه بشكل حدسي. في هذا الفضاء، تكون المترية gij = δij، و الانحناء معدوم (R = 0).
- الكرة (Sphere): هي سطح ذو انحناء ثابت موجب.
- الفضاء الزائدي (Hyperbolic space): هو فضاء ذو انحناء ثابت سالب.
- الفضاء المسطح (Flat space): أي فضاء له انحناء معدوم.
تختلف هذه الفضاءات في خصائصها الهندسية، مثل المسافات بين النقاط، ومجموع زوايا المثلثات، وحجم الفضاء.
المنحنيات الجزئية (Submanifolds)
المنحنى الجزئي هو فضاء ريماني يقع داخل فضاء ريماني أكبر. لدراسة المنحنيات الجزئية، نستخدم عادةً موتر الشكل (shape tensor) و معادلات غاوس (Gauss equations) وكودازي (Codazzi equations). هذه الأدوات تسمح لنا بفهم كيفية انحناء المنحنى الجزئي داخل الفضاء الأم.
الصيغ الهامة المتعلقة بالمنحنيات الجزئية:
- معادلة غاوس: R(X, Y, Z, W) = R'(X, Y, Z, W) + g(A(X, Z), A(Y, W)) – g(A(X, W), A(Y, Z))
- معادلة كودازي: (∇XA)(Y, Z) = (∇YA)(X, Z)
- حيث R و R’ هما موترات الانحناء للمنحنى الجزئي والفضاء الأم على التوالي، و A هو موتر الشكل.
التحليل التفاضلي العام (General Differential Analysis)
يتضمن التحليل التفاضلي العام استخدام المشتقات التوافقية لتعريف العمليات التفاضلية مثل التباعد (divergence)، التدوير (curl)، ومشتق لابلاس (Laplacian) في الفضاءات المنحنية. على سبيل المثال، تباعد حقل متجهي V هو:
div V = ∇iVi
ومشتق لابلاس لـ f (دالة قياسية) هو:
Δf = gij∇i∇jf
الصيغ الهامة المتعلقة بالتحليل التفاضلي العام:
- صيغة غاوس (Gauss’s theorem): ∫M div X dV = ∫∂M X ⋅ n dA
نظرية الإسقاط (Projection Theorem)
نظرية الإسقاط في الهندسة الريمانية تسمح لنا بإسقاط المتجهات على مساحات مماسية أو على طول منحنيات. هذه النظرية مفيدة في العديد من التطبيقات، مثل حساب مسافات أقصر بين النقاط أو تحديد سلوك الجيوديسية. تعتمد هذه النظرية بشكل كبير على مفهوم الاشتقاق التوافقي.
تطبيقات الهندسة الريمانية
تجد الهندسة الريمانية تطبيقات واسعة في مجالات مختلفة:
- الفيزياء العامة (General Relativity): حيث يمثل الفضاء-الزمن (spacetime) فضاء ريماني، والمترية هي التي تحدد الجاذبية.
- علم الحاسوب (Computer Science): في التعلم الآلي (machine learning) ورؤية الحاسوب (computer vision) لدراسة الفضاءات التي تصف البيانات.
- هندسة الروبوتات (Robotics): لتصميم مسارات الروبوتات.
- الفيزياء النظرية (Theoretical Physics): في دراسة نظرية الأوتار (string theory) وغيرها من النماذج الفيزيائية.
خاتمة
في هذا المقال، قدمنا نظرة عامة على بعض الصيغ الأساسية في الهندسة الريمانية. بدأنا بمقدمة حول المترية الريمانية، ثم انتقلنا إلى مناقشة اتصال ليفي-سيفيتًا، وموتر الانحناء الريماني، والانحناء السطحي، والجيوديسية، والاشتقاق التوافقي. بالإضافة إلى ذلك، تطرقنا إلى أمثلة على الفضاءات الريمانية، ودور المنحنيات الجزئية، و التحليل التفاضلي العام، مع التطرق إلى تطبيقات هذه المفاهيم في الفيزياء والرياضيات وعلوم الحاسوب. إن فهم هذه الصيغ والأسس ضروري لدراسة الهندسة الريمانية وتطبيقاتها المختلفة.