تعريف رسمي
ليكن A فضاءً متجهيًا على حقل F (حيث F إما حقل الأعداد الحقيقية R أو حقل الأعداد المركبة C). نقول إن A هو جبر على F إذا كان مزودًا بعملية ضرب ثنائية 線形: A × A → A، تكتب عادةً (x, y) ↦ xy، بحيث تحقق:
- التوزيعية: x(y + z) = xy + xz و (x + y)z = xz + yz لكل x, y, z ∈ A.
- التوافقية مع الضرب القياسي: a(xy) = (ax)y = x(ay) لكل a ∈ F و x, y ∈ A.
يُقال عن الجبر A أنه ترابطي إذا كان يحقق بالإضافة إلى ذلك:
- الترابطية: (xy)z = x(yz) لكل x, y, z ∈ A.
جبر باناخ هو جبر ترابطي A على F يكون أيضًا فضاء باناخ، أي أنه فضاء متجهي معياري كامل بالنسبة للمعيرة ||·||، بحيث تحقق المعيرة ما يلي:
- ||xy|| ≤ ||x|| ||y|| لكل x, y ∈ A.
هذا الشرط يضمن أن عملية الضرب مستمرة.
إذا كان A يمتلك عنصرًا محايدًا ضربيًا 1، أي عنصرًا بحيث 1x = x1 = x لكل x ∈ A، فعادةً ما نفترض أيضًا أن:
- ||1|| = 1.
لاحظ أنه إذا لم يكن الأمر كذلك، يمكن استبدال المعيرة الأصلية بمعيرة مكافئة تحقق هذا الشرط.
أمثلة
- حقل الأعداد الحقيقية R وحقل الأعداد المركبة C هما جبر باناخ مع المعيار المطلق كمعيرة.
- C[0, 1]، فضاء الدوال المستمرة ذات القيم المركبة على الفترة [0, 1]، هو جبر باناخ مع عملية الضرب النقطي ومعيرة supremum.
- فضاء المؤثرات الخطية المحدودة من فضاء باناخ X إلى نفسه، يُشار إليه بـ B(X)، هو جبر باناخ مع عملية التركيب المؤثرات كضرب ومعيرة المؤثرات كمعيرة.
- إذا كانت G مجموعة موضعية مدمجة، فإن L1(G)، فضاء الدوال القابلة للتكامل Lebesgue على G، هو جبر باناخ بالنسبة للضرب الالتفافي.
- جبر القرص A(D) هو جبر باناخ يتكون من جميع الدوال التحليلية على القرص المفتوح D والتي يمكن تمديدها بشكل مستمر إلى القرص المغلق.
- جبر التحويلات الموحدة على فضاء هيلبرت.
خصائص
إذا كان A جبر باناخ، و x ∈ A، و ||x|| < 1، فإن (1 − x) قابل للعكس، وتقع معكوسة في A أيضًا. علاوة على ذلك:
(1 − x)−1 = 1 + x + x2 + …
وهذا يعني أن مجموعة العناصر القابلة للعكس في A هي مجموعة مفتوحة، وأن عملية الانعكاس مستمرة على هذه المجموعة.
إذا كان I مثاليًا حقيقيًا مغلقًا في جبر باناخ A مع عنصر محايد، فإن A/I هو أيضًا جبر باناخ. إذا كان A جبر باناخ تبديلي مع عنصر محايد، فإن كل مثالي حقيقي هو مثالي أقصى، و A/I متماثل الشكل مع حقل الأعداد المركبة.
الطيف
إذا كان A جبر باناخ مع عنصر محايد 1، فإن طيف عنصر x ∈ A، والذي يشار إليه بـ σA(x)، هو مجموعة جميع الأعداد المركبة λ بحيث أن (x − λ1) ليس قابلاً للعكس في A. الطيف σA(x) لمجموعة جزئية مغلقة غير فارغة من C، ويقع داخل القرص ||λ|| ≤ ||x||. ال نصف قطر طيفي لـ x هو:
ν(x) = sup {|λ| : λ ∈ σA(x)}.
إذا كان A هو جبر باناخ على حقل الأعداد المركبة، فإن نصف القطر الطيفي يُعطى أيضًا بالصيغة التالية:
ν(x) = limn→∞ ||xn||1/n.
نظرًا لأن جبر باناخ هو جبر ترابطي، يمكننا تعريف دالة أسية لعناصر الجبر. إذا كان x ∈ A، فإن الدالة الأسية لـ x تُعرف بالصيغة التالية:
exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3! + …
السلسلة الموجودة في الطرف الأيمن تتقارب دائمًا في A. علاوة على ذلك، إذا كان x و y عنصرين في A يتبادلان (أي xy = yx)، فإن:
exp(x + y) = exp(x) exp(y).
تمثيل جبر باناخ
يُعد تمثيل جبر باناخ A فضاءً متجهيًا V مع تعيين جبري φ : A → End(V) حيث End(V) هو جبر المؤثرات الخطية على V. أي أن التمثيل هو دالة تحافظ على عمليات الجبر. إذا كان V فضاء باناخ و φ هو تعيين مستمر، فإن التمثيل يُسمى تمثيلًا مستمرًا.
تعتبر نظرية التمثيل لجبر باناخ موضوعًا مهمًا في التحليل الدالي. أحد الأهداف الرئيسية هو إيجاد تمثيلات لجبر باناخ معينة تسمح بفهم بنية الجبر بشكل أفضل.
جبر باناخ C*
جبر باناخ C* هو جبر باناخ A على حقل الأعداد المركبة، مع عملية إضافة * : A → A تحقق الخصائص التالية:
- (x + y)* = x* + y* لكل x, y ∈ A.
- (λx)* = λx* لكل λ ∈ C و x ∈ A، حيث λ هو المرافق المركب لـ λ.
- (xy)* = y*x* لكل x, y ∈ A.
- (x*)* = x لكل x ∈ A.
- ||x*x|| = ||x||2 لكل x ∈ A (خاصية C*).
خاصية C* هي جوهرية، وتجعل جبر باناخ C* موضوعًا مهمًا في حد ذاته. من الأمثلة على جبر باناخ C* جبرُ المؤثرات الخطية المحدودة على فضاء هيلبرت، حيث * هي عملية الإلحاق.
تطبيقات
تستخدم جبر باناخ في العديد من المجالات في الرياضيات والفيزياء، بما في ذلك:
- التحليل الدالي
- نظرية المؤثرات
- نظرية التمثيل
- ميكانيكا الكم
- نظرية الاحتمالات
إنها توفر إطارًا قويًا لدراسة الدوال والمؤثرات الخطية، وتستخدم على نطاق واسع في حل المعادلات التفاضلية والتكاملية.
خاتمة
جبر باناخ هو مفهوم أساسي في التحليل الدالي، يوفر إطارًا قويًا لدراسة الجبر والفضاءات المتجهة المعيارية. تلعب جبر باناخ دورًا حاسمًا في العديد من المجالات الرياضية والفيزيائية، وتوفر أدوات قوية لحل مجموعة واسعة من المشاكل.