مقدمة
التحويل الثنائي الخطي، المعروف أيضًا باسم طريقة Tustin (نسبة إلى Arnold Tustin)، هو تقنية أساسية في معالجة الإشارات الرقمية وأنظمة التحكم الرقمية. يُستخدم هذا التحويل لتحويل المرشحات التناظرية (المستمرة في الزمن) إلى مرشحات رقمية (المتقطعة في الزمن) مع الحفاظ على خصائص التردد الهامة. بمعنى آخر، يسمح لنا التحويل الثنائي الخطي بأخذ تصميم مرشح موجود تم تصميمه في المجال التناظري وتحويله إلى تصميم مرشح رقمي يمكن تنفيذه على معالج إشارات رقمية (DSP) أو نظام رقمي آخر.
أهمية التحويل الثنائي الخطي
يكمن جوهر أهمية التحويل الثنائي الخطي في قدرته على سد الفجوة بين العالمين التناظري والرقمي. غالبًا ما يتم تصميم المرشحات التناظرية باستخدام تقنيات راسخة ومدروسة جيدًا. ومع ذلك، فإن تنفيذ هذه المرشحات التناظرية يتطلب مكونات مادية مثل المقاومات والمكثفات والمحاثات، والتي يمكن أن تكون عرضة للتغيرات في درجة الحرارة والشيخوخة وعدم الدقة التصنيعية. من ناحية أخرى، توفر المرشحات الرقمية العديد من المزايا مقارنة بنظيراتها التناظرية، بما في ذلك:
- الدقة: يمكن تمثيل المرشحات الرقمية بدقة عالية، مما يؤدي إلى أداء أفضل وتقليل الضوضاء.
- المرونة: يمكن بسهولة تعديل المرشحات الرقمية عن طريق تغيير معاملات البرنامج، مما يسمح بالتكيف مع المتطلبات المتغيرة.
- الاستقرار: المرشحات الرقمية أقل عرضة للتغيرات في درجة الحرارة والشيخوخة مقارنة بالمرشحات التناظرية.
- التكامل: يمكن بسهولة دمج المرشحات الرقمية في أنظمة رقمية أكبر، مما يقلل من حجم النظام وتكلفته.
وبالتالي، فإن التحويل الثنائي الخطي يوفر طريقة لتحقيق فوائد المرشحات الرقمية مع الاستفادة من المعرفة الموجودة حول تصميم المرشحات التناظرية.
صيغة التحويل الثنائي الخطي
التحويل الثنائي الخطي يعتمد على الاستبدال التالي:
s = 2/T * ( (1 – z-1) / (1 + z-1) )
حيث:
- s هو متغير لابلاس المستخدم في المجال التناظري.
- z هو متغير Z المستخدم في المجال الرقمي.
- T هو فترة أخذ العينات (Sampling Period).
ببساطة، لاستخدام التحويل الثنائي الخطي، نستبدل كل ‘s’ في دالة التحويل التناظرية (H(s)) بالمعادلة المذكورة أعلاه. سيؤدي هذا إلى دالة تحويل رقمية (H(z)) يمكن تنفيذها رقميًا.
شرح مفصل للمعادلة
المعادلة الأساسية للتحويل الثنائي الخطي تربط بين متغير لابلاس (s) في المجال التناظري ومتغير Z (z) في المجال الرقمي. لنفهم بشكل أفضل كيفية عمل هذه المعادلة:
- متغير لابلاس (s): يمثل التردد في المجال التناظري. قيمته عبارة عن عدد مركب، حيث يمثل الجزء الحقيقي التخميد والجزء التخيلي يمثل التردد الزاوي.
- متغير Z (z): يمثل التردد في المجال الرقمي. قيمته عبارة عن عدد مركب يقع على دائرة الوحدة في المستوى العقدي.
- فترة أخذ العينات (T): هي الفترة الزمنية بين كل عينة في الإشارة الرقمية. تحدد هذه الفترة عرض النطاق الترددي للإشارة الرقمية.
التحويل الثنائي الخطي يرسم الجانب الأيسر من المستوى s (الجزء المستقر من المجال التناظري) إلى داخل دائرة الوحدة في المستوى z (الجزء المستقر من المجال الرقمي). هذا يضمن أن المرشح الرقمي الناتج سيكون مستقرًا إذا كان المرشح التناظري الأصلي مستقرًا.
الالتواء الترددي (Frequency Warping)
أحد الآثار الجانبية الهامة للتحويل الثنائي الخطي هو ظاهرة تسمى “الالتواء الترددي”. يحدث هذا لأن العلاقة بين التردد التناظري والتردد الرقمي ليست خطية. يتم ضغط الترددات الأعلى في المجال التناظري إلى ترددات أقل في المجال الرقمي. يمكن حساب العلاقة الدقيقة بين التردد التناظري (Ω) والتردد الرقمي (ω) على النحو التالي:
Ω = (2/T) * tan(ωT/2)
أهمية معالجة الالتواء الترددي:
إذا كانت المواصفات الخاصة بالمرشح الرقمي تتضمن ترددات حرجة محددة (مثل تردد القطع)، فمن الضروري معالجة الالتواء الترددي. يمكن القيام بذلك عن طريق “التعويض المسبق” للترددات التناظرية قبل تطبيق التحويل الثنائي الخطي. ببساطة، نستخدم المعادلة أعلاه لحساب التردد التناظري الذي سيعطينا التردد الرقمي المطلوب بعد التحويل.
خطوات تطبيق التحويل الثنائي الخطي
- تحديد مواصفات المرشح الرقمي: حدد نوع المرشح (مثل تمرير منخفض، تمرير عالي، تمرير نطاق)، وتردد القطع، ومواصفات التوهين.
- تصميم مرشح تناظري: صمم مرشحًا تناظريًا يلبي المواصفات المطلوبة. يمكن استخدام العديد من التقنيات لتصميم المرشحات التناظرية، مثل مرشحات Butterworth و Chebyshev و Elliptic.
- التعويض المسبق عن الالتواء الترددي: إذا كانت المواصفات تتضمن ترددات حرجة، فاحسب الترددات التناظرية المعوضة مسبقًا باستخدام معادلة الالتواء الترددي.
- تطبيق التحويل الثنائي الخطي: استبدل كل ‘s’ في دالة التحويل التناظرية بالصيغة الخاصة بالتحويل الثنائي الخطي.
- تبسيط دالة التحويل الرقمية: بسّط دالة التحويل الرقمية الناتجة (H(z)) للحصول على معادلة يمكن تنفيذها بسهولة على معالج الإشارات الرقمية أو نظام رقمي آخر.
مثال توضيحي
لنفترض أننا نريد تصميم مرشح تمرير منخفض رقمي بتردد قطع قدره 1 كيلو هرتز ومعدل أخذ عينات قدره 8 كيلو هرتز. سنستخدم التحويل الثنائي الخطي لتحويل مرشح تمرير منخفض تناظري من الدرجة الأولى إلى مرشح رقمي.
- مواصفات المرشح الرقمي: مرشح تمرير منخفض، تردد القطع = 1 كيلو هرتز، معدل أخذ عينات = 8 كيلو هرتز.
- تصميم مرشح تناظري: دالة التحويل لمرشح تمرير منخفض تناظري من الدرجة الأولى هي H(s) = 1 / (s + p)، حيث p هو القطب.
- التعويض المسبق عن الالتواء الترددي: ω = 2π * 1000 هرتز، T = 1/8000 ثانية. باستخدام معادلة الالتواء الترددي، نحسب Ω = (2/T) * tan(ωT/2) ≈ 6283.19 راديان/ثانية. لذلك، p = 6283.19.
- تطبيق التحويل الثنائي الخطي: نستبدل s في H(s) بـ (2/T) * ( (1 – z-1) / (1 + z-1) ).
- تبسيط دالة التحويل الرقمية: بعد الاستبدال والتبسيط، سنحصل على دالة تحويل رقمية في صورة H(z) = (b0 + b1*z-1) / (1 + a1*z-1)، حيث b0، b1، و a1 هي معاملات يمكن حسابها من قيم p و T.
الآن، يمكن تنفيذ هذه الدالة الرقمية على معالج إشارات رقمية للحصول على مرشح تمرير منخفض رقمي.
مزايا وعيوب التحويل الثنائي الخطي
المزايا:
- الاستقرار: يحافظ على استقرار المرشح التناظري الأصلي.
- سهولة التنفيذ: عملية التحويل بسيطة نسبياً.
العيوب:
- الالتواء الترددي: يتسبب في تشويه الترددات، مما يتطلب التعويض المسبق.
- لا يحافظ على استجابة الطور: قد يؤدي إلى تغييرات في استجابة الطور للمرشح.
تطبيقات التحويل الثنائي الخطي
يستخدم التحويل الثنائي الخطي على نطاق واسع في العديد من التطبيقات، بما في ذلك:
- معالجة الصوت: تصميم المرشحات الرقمية لمعادلة الصوت، وتقليل الضوضاء، والمؤثرات الصوتية.
- الاتصالات: تصميم المرشحات الرقمية لتشكيل النبضات، والمطابقة، وإزالة التداخل.
- التحكم: تصميم وحدات التحكم الرقمية لأنظمة التحكم في المحركات، والروبوتات، والعمليات الصناعية.
- معالجة الصور: تصميم المرشحات الرقمية لتوضيح الصور، وإزالة الضوضاء، واكتشاف الحواف.
بدائل للتحويل الثنائي الخطي
هناك بدائل أخرى للتحويل الثنائي الخطي لتحويل المرشحات التناظرية إلى مرشحات رقمية، مثل:
- تحويل الانحدار الأمامي (Forward Euler Transform): طريقة بسيطة ولكنها قد تكون غير مستقرة.
- تحويل الانحدار الخلفي (Backward Euler Transform): أكثر استقرارًا من تحويل الانحدار الأمامي ولكنه قد يقدم المزيد من التشوه الترددي.
- مطابقة الأقطاب والأصفار (Matched Z-Transform): طريقة تحافظ على مواقع الأقطاب والأصفار ولكنها قد لا تحافظ على استجابة التردد بشكل دقيق.
يعتبر التحويل الثنائي الخطي بشكل عام هو الخيار الأفضل للعديد من التطبيقات بسبب استقراره ودقته، خاصةً عند معالجة الالتواء الترددي.
خاتمة
التحويل الثنائي الخطي هو أداة قوية لتحويل المرشحات التناظرية إلى مرشحات رقمية. على الرغم من وجود ظاهرة الالتواء الترددي، إلا أن هذه الظاهرة يمكن معالجتها بسهولة عن طريق التعويض المسبق. يوفر التحويل الثنائي الخطي طريقة موثوقة وفعالة للاستفادة من تصميمات المرشحات التناظرية الموجودة وإنشاء مرشحات رقمية عالية الأداء لمجموعة واسعة من التطبيقات.