مقدمة في التفاضلات
قبل الخوض في التفاضل غير التام، من الضروري فهم أساسيات التفاضلات. في الرياضيات، التفاضل هو عملية حساب معدل تغير دالة ما. يمثل التفاضل التغيرات اللانهائية الصغيرة في قيمة الدالة بالنسبة للتغيرات اللانهائية الصغيرة في متغيراتها. التفاضلات ضرورية في حساب التكاملات، والتي تمثل مجموع التغيرات اللانهائية الصغيرة.
هناك نوعان رئيسيان من التفاضلات: التفاضلات التامة والتفاضلات غير التامة. يعتمد الفرق الرئيسي بينهما على سلوك تكاملهما. التفاضل التام هو تفاضل يمكن تكامله بشكل مستقل عن المسار، بينما التفاضل غير التام لا يمكن تكامله بشكل مستقل عن المسار.
التفاضل التام
التفاضل التام هو التفاضل الذي يكون تكامله مستقلاً عن المسار. هذا يعني أن قيمة التكامل بين نقطتين تعتمد فقط على قيم الدالة في هاتين النقطتين، وليس على المسار الذي يتم اتباعه للوصول من نقطة إلى أخرى. يمكن تمثيل التفاضل التام كـ (df)، حيث (f) هي دالة تعتمد على متغيرات معينة. مثال على ذلك هو دالة الطاقة الداخلية (U) في الديناميكا الحرارية. يمكننا كتابة التفاضل التام للطاقة الداخلية كـ (dU).
الشرط الرياضي للتفاضل التام هو أن تكون مشتقاته الجزئية متساوية. على سبيل المثال، إذا كانت لدينا دالة (f(x, y))، فإن التفاضل (df) يكون تامًا إذا تحققت المعادلة التالية:
∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x
هذا الشرط يضمن أن التكامل يعتمد فقط على نقاط النهاية، وليس على المسار. في الديناميكا الحرارية، تعتمد الخواص التي تعتبر دوال حالة، مثل الطاقة الداخلية والإنتروبيا، على التفاضلات التامة.
التفاضل غير التام
التفاضل غير التام هو التفاضل الذي يكون تكامله يعتمد على المسار. هذا يعني أن قيمة التكامل بين نقطتين تختلف باختلاف المسار الذي يتم اتباعه. التفاضل غير التام لا يمكن تمثيله كـ (df)، حيث (f) هي دالة. بدلاً من ذلك، يتم تمثيله بـ (δ). مثال على ذلك هو الشغل (δW) والحرارة (δQ) في الديناميكا الحرارية. على سبيل المثال، الشغل الذي يبذله نظام ما يعتمد على المسار الذي يتم اتباعه أثناء التغير.
بشكل عام، التفاضلات غير التامة تمثل الكميات التي تصف عملية أو مسار، وليس حالة النظام. على سبيل المثال، إذا أخذنا نظامًا يخضع لدورة ترموديناميكية، فإن الشغل والحرارة خلال الدورة لا يعودان إلى قيمتيهما الأصلية، على عكس الطاقة الداخلية التي تعود إلى قيمتها الأصلية.
أمثلة على التفاضلات غير التامة
توجد العديد من الأمثلة على التفاضلات غير التامة في الفيزياء. من أبرزها:
- الشغل (δW): الشغل هو الطاقة المنقولة عندما يؤثر قوى على نظام ما. يعتمد الشغل على المسار، حيث يختلف الشغل المبذول خلال عملية تمدد أو انكماش باختلاف المسار الذي يتم اتباعه.
- الحرارة (δQ): الحرارة هي الطاقة المنقولة بسبب اختلاف درجة الحرارة. تعتمد الحرارة أيضًا على المسار، حيث تختلف كمية الحرارة المتبادلة خلال عملية ما باختلاف المسار.
تعتبر كل من الشغل والحرارة “دوَال مسار”، مما يعني أن قيمها تعتمد على المسار المتبع بين حالتين. على سبيل المثال، في نظام مغلق، يمكن أن يحدث التغير في الطاقة الداخلية (ΔU) كنتيجة للحرارة والشغل: ΔU = Q + W. في هذه المعادلة، Q و W ليسا دوال حالة، بينما ΔU هي دالة حالة.
العلاقة بالديناميكا الحرارية
يلعب مفهوم التفاضل غير التام دورًا حاسمًا في الديناميكا الحرارية. في الديناميكا الحرارية، ندرس العلاقة بين الحرارة والشغل والطاقة الداخلية والخواص الأخرى للأنظمة. التفاضلات غير التامة تستخدم لوصف العمليات التي تؤدي إلى تبادل الطاقة بين النظام ومحيطه.
القانون الأول للديناميكا الحرارية، الذي ينص على أن الطاقة محفوظة، يعبر عنه عادةً باستخدام التفاضلات غير التامة:
dU = δQ + δW
حيث:
- dU هو التغير في الطاقة الداخلية للنظام (تفاضل تام).
- δQ هو الحرارة المضافة إلى النظام (تفاضل غير تام).
- δW هو الشغل المبذول على النظام (تفاضل غير تام).
توضح هذه المعادلة أن التغير في الطاقة الداخلية للنظام يعتمد على كل من الحرارة والشغل. نظرًا لأن الحرارة والشغل يعتمدان على المسار، فإن قيمة التغير في الطاقة الداخلية ستكون هي نفسها بغض النظر عن المسار المتبع. هذا يوضح أهمية التفاضلات غير التامة في فهم العمليات الترموديناميكية.
القانون الثاني للديناميكا الحرارية يقدم مفهوم الإنتروبيا، وهي دالة حالة. يربط هذا القانون بين الحرارة والإنتروبيا:
dS = δQ/T
حيث:
- dS هو التغير في الإنتروبيا (تفاضل تام).
- δQ هو الحرارة المتبادلة (تفاضل غير تام).
- T هي درجة الحرارة المطلقة.
هذه المعادلة توضح أن التغير في الإنتروبيا، وهي دالة حالة، يعتمد على الحرارة المتبادلة ودرجة الحرارة. على الرغم من أن الحرارة هي تفاضل غير تام، فإن قسمتها على درجة الحرارة (إذا كانت عملية قابلة للعكس) تؤدي إلى تفاضل تام.
التمييز بين التفاضلات التامة وغير التامة
التمييز بين التفاضلات التامة وغير التامة أمر بالغ الأهمية في الفيزياء والرياضيات. إليك بعض الطرق التي يمكن بها التمييز بينهما:
- الاعتماد على المسار: التفاضلات التامة مستقلة عن المسار، بينما التفاضلات غير التامة تعتمد على المسار.
- الترميز: التفاضلات التامة غالبًا ما يتم تمثيلها بـ (d)، بينما التفاضلات غير التامة يتم تمثيلها بـ (δ).
- التكامل: يمكن دمج التفاضلات التامة لإيجاد دالة حالة، بينما يجب تحديد المسار لتكامل التفاضلات غير التامة.
- الاختبار الرياضي: يمكن استخدام الاختبار الرياضي للتحقق مما إذا كان التفاضل تامًا، كما ذكر أعلاه (∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x).
يساعد فهم هذه الاختلافات في تحليل العمليات والظواهر الفيزيائية بشكل صحيح. على سبيل المثال، في حساب الشغل أو الحرارة، يجب مراعاة المسار المتبع، بينما يمكن حساب التغير في الطاقة الداخلية بشكل مستقل عن المسار.
أهمية الفهم في التطبيقات
يعد فهم التفاضلات التامة وغير التامة أمرًا بالغ الأهمية في العديد من المجالات والتطبيقات:
- الهندسة: في الهندسة، يتم استخدام هذه المفاهيم في تصميم وتحليل الأنظمة الحرارية، مثل محركات الاحتراق الداخلي والتوربينات.
- الفيزياء: في الفيزياء، يتم تطبيقها في دراسة الديناميكا الحرارية، وميكانيكا الإحصاء، والفيزياء الإحصائية.
- الكيمياء: في الكيمياء، يتم استخدامها لفهم التغيرات في الطاقة والحرارة في التفاعلات الكيميائية.
- العلوم البيئية: في العلوم البيئية، يتم تطبيقها لتحليل العمليات الحرارية في الغلاف الجوي والنظم البيئية.
يساعد فهم هذه المفاهيم في بناء نماذج دقيقة للظواهر الفيزيائية، والتنبؤ بسلوك الأنظمة، وتحسين التصميم الهندسي. على سبيل المثال، في تصميم محرك، يساعد فهم التفاضلات غير التامة في حساب كمية الشغل والحرارة التي يتم تبادلها خلال دورة المحرك.
الخلاصة
التفاضل غير التام هو مفهوم أساسي في الفيزياء والرياضيات، خاصة في الديناميكا الحرارية. يمثل هذا المفهوم التفاضل الذي يعتمد تكامله على المسار المتبع، على عكس التفاضل التام الذي يعتمد تكامله على نقطتي البداية والنهاية فقط. الشغل والحرارة هما مثالان رئيسيان على التفاضلات غير التامة، بينما الطاقة الداخلية والإنتروبيا هما مثالان على الكميات التي تعتمد على التفاضلات التامة. يعد فهم هذه المفاهيم ضروريًا لفهم العديد من الظواهر الفيزيائية، مثل عمل الأنظمة الترموديناميكية وتغيرات الطاقة. يتيح لنا فهم هذه المفاهيم بناء نماذج دقيقة للظواهر الفيزيائية، والتنبؤ بسلوك الأنظمة، وتحسين التصميم الهندسي في مجموعة واسعة من التطبيقات.
المراجع
- Wikipedia: Inexact differential
- Britannica: Thermodynamics
- LibreTexts: Exact and Inexact Differentials
- Physics Stack Exchange: d and δ in Thermodynamics
“`