بناء الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة
كما ذكرنا سابقًا، يتم بناء الكمية الرباعية الثنائية المنشطرة من خلال الجمع الخطي لأربع وحدات أساسية (1, i, j, k) بمعاملات هي أعداد مركبة منشطرة. العدد المركب المنشطر يأخذ الشكل a + bj، حيث a و b أعداد حقيقية و j² = +1. لذلك، يمكن تمثيل الكمية الرباعية الثنائية المنشطرة على النحو التالي:
q = (a₁ + b₁j) + (a₂ + b₂j)i + (a₃ + b₃j)j + (a₄ + b₄j)k
حيث a₁, b₁, a₂, b₂, a₃, b₃, a₄, و b₄ هي أعداد حقيقية.
يمكن أيضًا اعتبار الكمية الرباعية الثنائية المنشطرة كمجموعة من زوجين من الكميات الرباعية المنشطرة. هذا التمثيل يسلط الضوء على العلاقة بين الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة والكميات الرباعية المنشطرة، ويسمح باستخدام الأدوات والتقنيات المتاحة للكميات الرباعية المنشطرة لتحليل ودراسة الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة.
خصائص الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة
تتميز الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة بعدة خصائص هامة، بما في ذلك:
- اللاحتمية: الضرب في الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة ليس تبديليًا، أي أن q₁q₂ ≠ q₂q₁ بشكل عام. هذا يعني أن ترتيب العوامل في عملية الضرب مهم جدًا.
- وجود قواسم صفرية: توجد كميات رباعية ثنائية منشطرة غير صفرية يكون حاصل ضربها صفرًا. هذا يعني أن الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة لا تشكل حقلًا (Field).
- الارتباط: على الرغم من أن الضرب ليس تبديليًا، إلا أنه ترابطي، أي أن (q₁q₂)q₃ = q₁(q₂q₃).
- التوزيعية: الضرب يوزع على الجمع، أي أن q₁(q₂ + q₃) = q₁q₂ + q₁q₃ و (q₁ + q₂)q₃ = q₁q₃ + q₂q₃.
بالإضافة إلى هذه الخصائص الجبرية الأساسية، تمتلك الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة أيضًا خصائص هندسية مثيرة للاهتمام. على سبيل المثال، يمكن استخدامها لتمثيل التحويلات الهندسية في الفضاء، مثل الدوران والانعكاس والقص. ومع ذلك، نظرًا لوجود قواسم صفرية، يجب توخي الحذر عند استخدام الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة في التطبيقات الهندسية.
تطبيقات الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة
على الرغم من أن الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة ليست شائعة مثل الكميات الرباعية أو الأعداد المركبة، إلا أنها تجد تطبيقات في مجالات مختلفة، بما في ذلك:
- الفيزياء النظرية: تستخدم الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة في بعض النماذج الرياضية في الفيزياء النظرية، على سبيل المثال، في وصف حقول جاذبية معينة.
- الرسومات الحاسوبية: على الرغم من أن استخدامها أقل شيوعًا من الكميات الرباعية، إلا أن الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة يمكن أن توفر تمثيلات بديلة للتحويلات الهندسية.
- نظرية التحكم: تستخدم الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة في تصميم أنظمة التحكم، خاصة تلك التي تتطلب معالجة إشارات معقدة.
- معالجة الإشارات: يمكن استخدام الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة لتمثيل ومعالجة الإشارات متعددة الأبعاد.
بالإضافة إلى ذلك، تعد دراسة الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة مهمة في حد ذاتها، حيث تساهم في فهم أعمق لبنية الأعداد الفوق مركبة والجبر المجرد.
العمليات على الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة
يمكن إجراء العديد من العمليات الحسابية على الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة، بما في ذلك الجمع والطرح والضرب والقسمة (بشروط معينة). فيما يلي وصف موجز لهذه العمليات:
- الجمع والطرح: يتم جمع أو طرح الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة عن طريق جمع أو طرح المعاملات المقابلة للوحدات الأساسية (1, i, j, k).
- الضرب: يتم ضرب الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة باستخدام قانون التوزيع وقواعد الضرب للوحدات الأساسية. يجب توخي الحذر بسبب اللاحتمية.
- القسمة: القسمة أكثر تعقيدًا بسبب وجود قواسم صفرية. يمكن تعريف القسمة في بعض الحالات، ولكن يجب التأكد من أن المقام ليس قاسمًا صفريًا.
لتوضيح عملية الضرب، لنفترض أن لدينا كميتين رباعيتين ثنائيتين منشطرتين q₁ = w₁ + x₁i + y₁j + z₁k و q₂ = w₂ + x₂i + y₂j + z₂k. ثم:
q₁q₂ = (w₁w₂ + x₁x₁ + y₁y₂ – z₁z₂) + (w₁x₂ + x₁w₂ + y₁z₂ – z₁y₂)i + (w₁y₂ – x₁z₂ + y₁w₂ + z₁x₂)j + (w₁z₂ + x₁y₂ – y₁x₂ + z₁w₂)k
حيث أن w₁, x₁, y₁, z₁, w₂, x₂, y₂, و z₂ هي أعداد مركبة منشطرة.
مثال على كمية رباعية ثنائية منشطرة
لتوضيح المفاهيم المذكورة أعلاه، إليك مثال على كمية رباعية ثنائية منشطرة:
q = (2 + 3j) + (1 – j)i + (4 + 2j)j + (5 – 4j)k
يمكن إجراء عمليات حسابية مختلفة على هذه الكمية، مثل ضربها بكمية رباعية ثنائية منشطرة أخرى أو حساب مربعها.
التمثيل المصفوفي للكميات الرباعية الثنائية المنشطرة
يمكن تمثيل الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة باستخدام المصفوفات. هذا التمثيل يسمح باستخدام الجبر الخطي لتحليل ودراسة الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة. يمكن تمثيل الكمية الرباعية الثنائية المنشطرة q = w + xi + yj + zk بمصفوفة 4×4 من الأعداد المركبة المنشطرة. هذا التمثيل يعطي طريقة بديلة لإجراء العمليات الحسابية على الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة.
التمثيل المصفوفي للكمية الرباعية الثنائية المنشطرة q هو:
[w x y z]
[-x w -z y]
[-y z w -x]
[-z -y x w]
حيث w، x، y، و z هي أعداد مركبة منشطرة.
العلاقة مع الجبر الهندسي
الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة لها علاقة وثيقة بالجبر الهندسي، وهو نظام رياضي يعمم الأعداد المركبة والكميات الرباعية. يمكن استخدام الجبر الهندسي لتمثيل الكميات الهندسية مثل النقاط والخطوط والمستويات، وكذلك التحويلات الهندسية مثل الدوران والانعكاس. الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة يمكن أن توفر تمثيلات بديلة لبعض هذه المفاهيم في الجبر الهندسي، خاصة في الحالات التي تكون فيها هناك هياكل منشطرة.
تحديات وفرص
تطرح الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة تحديات وفرصًا. وجود قواسم صفرية يجعل العمل معها أكثر تعقيدًا من الكميات الرباعية أو الأعداد المركبة. ومع ذلك، فإن هذه الخاصية نفسها يمكن أن تؤدي إلى تطبيقات جديدة ومثيرة للاهتمام. بالإضافة إلى ذلك، فإن العلاقة الوثيقة بين الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة والجبر الهندسي تفتح آفاقًا جديدة للبحث والتطوير.
خاتمة
الكميات الرباعية الثنائية المنشطرة هي أعداد فوق مركبة معقدة ذات خصائص فريدة وتطبيقات محتملة في مجالات مختلفة. على الرغم من أنها ليست شائعة مثل الأعداد المركبة أو الكميات الرباعية، إلا أنها تمثل مجالًا مثيرًا للاهتمام للدراسة والبحث، حيث تساهم في فهم أعمق لبنية الأعداد الفوق مركبة وتقدم أدوات رياضية جديدة لحل المشكلات في الفيزياء والرسومات الحاسوبية والهندسة.