مقدمة
في الرياضيات، تنص مبرهنة بوريسوك-أولام على أنه لكل دالة مستمرة من كرة n-بعدية إلى فضاء إقليدي n-بعدي، توجد نقطة على الكرة تقابل نقطة أخرى مقابلة لها قطريًا، بحيث يكون للدالة نفس القيمة عند هاتين النقطتين. بعبارة أخرى، إذا كان لديك كرة (مثل سطح الكرة الأرضية) وقمت بتعيين كل نقطة عليها إلى نقطة في فضاء ثنائي الأبعاد (مثل خريطة)، فستجد دائمًا نقطتين متقابلتين على الكرة تم تعيينهما إلى نفس النقطة على الخريطة.
تعتبر مبرهنة بوريسوك-أولام نتيجة عميقة لها العديد من التطبيقات في مختلف مجالات الرياضيات، بما في ذلك الطوبولوجيا والجبر الخطي والتحليل. وقد أثبتت أنها أداة قوية في حل المشكلات التي تبدو غير قابلة للحل في البداية.
الصياغة الرياضية
بشكل أكثر رسمية، يمكن صياغة مبرهنة بوريسوك-أولام على النحو التالي:
لتكن \(f: S^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) دالة مستمرة من الكرة n-بعدية \(S^n\) إلى الفضاء الإقليدي n-بعدي \(\mathbb{R}^n\). إذن، توجد نقطة \(x \in S^n\) بحيث \(f(x) = f(-x)\).
هنا، \(S^n\) هي مجموعة النقاط في \(\mathbb{R}^{n+1}\) التي تبعد مسافة 1 عن الأصل، أي:
\(S^n = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} : ||x|| = 1\}\)
و \(-x\) تمثل النقطة المقابلة قطريًا لـ \(x\) على الكرة.
حالة البعد الواحد
أبسط حالة لمبرهنة بوريسوك-أولام هي الحالة عندما \(n = 1\). في هذه الحالة، لدينا دالة مستمرة \(f: S^1 \rightarrow \mathbb{R}\) من الدائرة إلى خط الأعداد الحقيقية. تنص المبرهنة على أنه توجد نقطة \(x\) على الدائرة بحيث \(f(x) = f(-x)\).
يمكن تصور هذه الحالة بسهولة. تخيل أنك تسير حول الدائرة وتقيس درجة الحرارة في كل نقطة. تنص مبرهنة بوريسوك-أولام على أنه يجب أن تكون هناك نقطتان متقابلتان على الدائرة بنفس درجة الحرارة.
إثبات هذه الحالة:
لتكن \(g(x) = f(x) – f(-x)\). الدالة \(g\) مستمرة لأنها الفرق بين دالتين مستمرتين. لاحظ أن \(g(-x) = f(-x) – f(x) = -g(x)\). الآن، اختر نقطة \(x_0\) على الدائرة. إذا كانت \(g(x_0) = 0\)، فقد انتهينا. وإلا، فإن \(g(x_0)\) و \(g(-x_0)\) لهما إشارتان مختلفتان. بما أن \(g\) مستمرة، فبموجب مبرهنة القيمة المتوسطة، يجب أن تكون هناك نقطة \(x\) بين \(x_0\) و \(-x_0\) بحيث \(g(x) = 0\). وبالتالي، \(f(x) = f(-x)\).
تطبيقات
لمبرهنة بوريسوك-أولام العديد من التطبيقات الهامة، بعضها مذكور أدناه:
- مسألة تقاسم الكعكة: يمكن استخدام مبرهنة بوريسوك-أولام لإثبات أنه يمكن تقسيم كعكة ذات أبعاد n (حيث قد تكون هناك مواد مختلفة موزعة بشكل غير متساو) بين n أشخاص بحيث يحصل كل شخص على نفس الكمية من كل مادة.
- نظرية الساندويتش الحجرية: هذه النظرية هي تعميم لمبرهنة بوريسوك-أولام وتنص على أنه لأي مجموعة من الأجسام n في الفضاء الإقليدي n-بعدي، توجد فرط مستو واحد يقسم كل جسم إلى نصفين متساويين في الحجم.
- نظرية النقاط الثابتة: يمكن استخدام مبرهنة بوريسوك-أولام لإثبات بعض نظريات النقاط الثابتة، مثل نظرية بروير للنقطة الثابتة.
- نظرية جراهم: تنص على أنه لأي تغطية للكرة n-بعدية بواسطة n+1 مجموعة مغلقة، يجب أن تحتوي إحدى هذه المجموعات على نقطة ونقطتها المقابلة قطريًا.
- تطبيقات أخرى: في الفيزياء، تستخدم في دراسة التماثلات والانتقالات الطورية. في علوم الكمبيوتر، تستخدم في تصميم الخوارزميات المتوازية.
دليل على مبرهنة بوريسوك-أولام
هناك العديد من البراهين لمبرهنة بوريسوك-أولام، ولكن أحد أكثرها شيوعًا يعتمد على أدوات من الطوبولوجيا الجبرية، وتحديدًا نظرية التماثل. هنا سنقدم ملخصًا موجزًا للفكرة الرئيسية للإثبات باستخدام cohomology:
نفترض أن لدينا دالة مستمرة \(f: S^n \rightarrow \mathbb{R}^n\) بحيث \(f(x) \neq f(-x)\) لجميع \(x \in S^n\). نعرّف دالة جديدة \(g: S^n \rightarrow S^{n-1}\) على النحو التالي:
\(g(x) = \frac{f(x) – f(-x)}{||f(x) – f(-x)||}\)
لاحظ أن \(g\) معرفة جيدًا لأننا افترضنا أن \(f(x) \neq f(-x)\) لجميع \(x\). علاوة على ذلك، \(g(-x) = -g(x)\)، مما يعني أن \(g\) هي دالة فردية.
الآن، يمكننا إظهار أن الدالة \(g\) تحفز homomorphism بين مجموعات cohomology، أي، \(g^*: H^{n-1}(S^{n-1}; \mathbb{Z}_2) \rightarrow H^{n-1}(S^n; \mathbb{Z}_2)\). ومع ذلك، من المعروف أن \(H^{n-1}(S^{n-1}; \mathbb{Z}_2) \cong \mathbb{Z}_2\) و \(H^{n-1}(S^n; \mathbb{Z}_2) = 0\). لذلك، يجب أن يكون homomorphism \(g^*\) تافهًا.
من ناحية أخرى، يمكننا أن نظهر أن الدالة \(g\) هي بالضرورة دالة غير تافهة. هذه النقطة تتطلب بعض الحجج الطوبولوجية الجبرية الأكثر تعقيدًا، والتي تتجاوز نطاق هذه المناقشة. ومع ذلك، فإن الفكرة الأساسية هي أن وجود الدالة \(g\) سيؤدي إلى تناقض مع حقيقة أن \(S^{n-1}\) ليست قابلة للتقلص إلى نقطة.
وبالتالي، فإن افتراضنا الأولي بأن \(f(x) \neq f(-x)\) لجميع \(x\) يجب أن يكون خاطئًا. هذا يعني أنه توجد نقطة \(x \in S^n\) بحيث \(f(x) = f(-x)\)، وهو ما يثبت مبرهنة بوريسوك-أولام.
تعميمات وتوسعات
لمبرهنة بوريسوك-أولام العديد من التعميمات والتوسعات. بعض هذه تشمل:
- مبرهنة بوريسوك-أولام العامة: تنص على أنه لأي دالة فردية مستمرة \(f: S^n \rightarrow \mathbb{R}^m\) حيث \(m \leq n\)، توجد مجموعة فرعية من الكرة \(S^n\) isomorphic إلى الكرة \(S^{n-m}\) بحيث \(f\) ثابتة على هذه المجموعة الفرعية.
- مبرهنة الساندويتش الحجرية: كما ذكرنا سابقًا، هذه النظرية هي تعميم لمبرهنة بوريسوك-أولام وتنص على أنه لأي مجموعة من الأجسام n في الفضاء الإقليدي n-بعدي، توجد فرط مستو واحد يقسم كل جسم إلى نصفين متساويين في الحجم.
- مبرهنة تاكر: هذه النظرية هي نتيجة تركيبية لمبرهنة بوريسوك-أولام وتنص على أنه لأي تقسيم مثلثي للكرة n-بعدية حيث يتم تسمية الرؤوس بـ \(\pm 1, \pm 2, …, \pm (n+1)\) بحيث تكون التسميات المقابلة قطريًا متقابلة، توجد شريحة تحتوي على جميع التسميات \(\pm i\) بالضبط مرة واحدة.
أهمية مبرهنة بوريسوك-أولام
تكمن أهمية مبرهنة بوريسوك-أولام في عدة جوانب:
- قوة المفهوم: على الرغم من بساطة صياغتها، إلا أن المبرهنة لها قوة كبيرة في حل المشكلات المعقدة في مختلف المجالات الرياضية.
- الربط بين المجالات: تربط المبرهنة بين مفاهيم من الطوبولوجيا والجبر الخطي والتحليل، مما يسلط الضوء على الترابط بين فروع الرياضيات المختلفة.
- التطبيقات المتنوعة: تطبيقاتها المتنوعة في مسائل عملية ونظرية تبرز أهميتها في فهم الظواهر المختلفة.
- إلهام لبحوث جديدة: ألهمت المبرهنة العديد من البحوث الجديدة والتوسعات في مجالات مختلفة من الرياضيات.
مثال توضيحي
لتوضيح مبرهنة بوريسوك-أولام، لنفترض أن لدينا كرة أرضية وقمنا بقياس درجة الحرارة والضغط الجوي في كل نقطة على سطحها. الآن، وفقًا للمبرهنة، يجب أن تكون هناك نقطتان متقابلتان على الكرة الأرضية (أي، تقعان على طرفي نقيض من القطر) حيث تكون درجة الحرارة والضغط الجوي متساويين. هذا يعني أنه إذا قمت بتحديد موقع نقطة معينة، يمكنك أن تكون على يقين من وجود نقطة أخرى على الجانب الآخر من العالم حيث تكون الظروف الجوية متطابقة تقريبًا.
على الرغم من أن هذا المثال مبسط، إلا أنه يوضح قوة المبرهنة وقدرتها على تقديم رؤى حول الظواهر المعقدة.
تحديات مرتبطة بالمبرهنة
على الرغم من أهميتها، فإن مبرهنة بوريسوك-أولام تواجه بعض التحديات:
- صعوبة الإثبات: الإثباتات الدقيقة للمبرهنة تتطلب أدوات متقدمة من الطوبولوجيا الجبرية، مما يجعلها غير متاحة للرياضيين غير المتخصصين.
- الطبيعة الوجودية: تنص المبرهنة على وجود نقطة تحقق شرطًا معينًا، ولكنها لا تقدم طريقة للعثور على هذه النقطة بشكل فعال.
- التعميمات المعقدة: على الرغم من وجود تعميمات للمبرهنة، إلا أنها غالبًا ما تكون أكثر تعقيدًا وصعوبة في الفهم والتطبيق.
خاتمة
مبرهنة بوريسوك-أولام هي نتيجة رياضية عميقة تنص على أنه لكل دالة مستمرة من كرة n-بعدية إلى فضاء إقليدي n-بعدي، توجد نقطة على الكرة تقابل نقطة أخرى مقابلة لها قطريًا، بحيث يكون للدالة نفس القيمة عند هاتين النقطتين. للمبرهنة تطبيقات عديدة في مختلف مجالات الرياضيات والعلوم الأخرى، وتعتبر أداة قوية في حل المشكلات المعقدة. على الرغم من بعض التحديات المرتبطة بها، تظل مبرهنة بوريسوك-أولام واحدة من أهم النتائج في الطوبولوجيا.