التعريف الرسمي
لتكن A و B مجموعتين. العلاقة الثنائية R من A إلى B هي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الديكارتي A × B. أي أن:
R ⊆ A × B
إذا كان الزوج المرتب (a, b) ينتمي إلى R، فإننا نقول أن a يرتبط بـ b بواسطة العلاقة R، ونكتب a R b.
أمثلة
- المثال 1: لتكن A = {1, 2, 3} و B = {4, 5, 6}. العلاقة R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)} هي علاقة ثنائية من A إلى B. هنا، 1 يرتبط بـ 4، 2 يرتبط بـ 5، و 3 يرتبط بـ 6.
- المثال 2: لتكن A هي مجموعة جميع الطلاب في جامعة معينة و B هي مجموعة جميع الدورات التي تقدمها الجامعة. العلاقة R يمكن أن تكون “الطالب a مسجل في الدورة b“. (أحمد, حساب التفاضل والتكامل 1) ∈ R إذا كان أحمد مسجلاً في حساب التفاضل والتكامل 1.
- المثال 3: لتكن A هي مجموعة الأعداد الصحيحة. العلاقة “أصغر من أو يساوي” (≤) هي علاقة ثنائية على A. على سبيل المثال، 2 ≤ 5، لذا (2, 5) ينتمي إلى العلاقة.
خصائص العلاقات الثنائية
يمكن أن تمتلك العلاقات الثنائية خصائص مختلفة تحدد طبيعتها وسلوكها. بعض الخصائص الهامة تشمل:
- الانعكاسية (Reflexive): العلاقة R على المجموعة A هي انعكاسية إذا كان لكل عنصر a في A، (a, a) ينتمي إلى R. أي أن كل عنصر يرتبط بنفسه. مثال: العلاقة “يساوي” (=) على مجموعة الأعداد الحقيقية هي انعكاسية لأن أي عدد يساوي نفسه.
- التناظرية (Symmetric): العلاقة R على المجموعة A هي تناظرية إذا كان لكل عنصرين a و b في A، إذا كان (a, b) ينتمي إلى R، فإن (b, a) ينتمي أيضاً إلى R. أي إذا كان a يرتبط بـ b، فإن b يرتبط أيضاً بـ a. مثال: العلاقة “أخ” على مجموعة الأشخاص هي تناظرية (بافتراض أن “أخ” تعني أخ بيولوجي).
- اللاتناظرية (Anti-symmetric): العلاقة R على المجموعة A هي لاتناظرية إذا كان لكل عنصرين a و b في A، إذا كان (a, b) ينتمي إلى R و (b, a) ينتمي إلى R، فإن a = b. أي إذا كان a يرتبط بـ b و b يرتبط بـ a، فإنهما نفس العنصر. مثال: العلاقة “أصغر من أو يساوي” (≤) على مجموعة الأعداد الحقيقية هي لاتناظرية.
- التعدية (Transitive): العلاقة R على المجموعة A هي متعدية إذا كان لكل ثلاثة عناصر a و b و c في A، إذا كان (a, b) ينتمي إلى R و (b, c) ينتمي إلى R، فإن (a, c) ينتمي أيضاً إلى R. أي إذا كان a يرتبط بـ b و b يرتبط بـ c، فإن a يرتبط أيضاً بـ c. مثال: العلاقة “أكبر من” (>) على مجموعة الأعداد الحقيقية هي متعدية.
أنواع خاصة من العلاقات
بناءً على الخصائص التي تمتلكها، يمكن تصنيف العلاقات الثنائية إلى أنواع مختلفة:
- علاقة التكافؤ (Equivalence Relation): هي علاقة انعكاسية وتناظرية ومتعدية. تقسم علاقة التكافؤ المجموعة إلى فئات تكافؤ، حيث كل عنصر في فئة واحدة يرتبط بجميع العناصر الأخرى في نفس الفئة. مثال: العلاقة “لديه نفس الباقي عند القسمة على n” على مجموعة الأعداد الصحيحة.
- علاقة الترتيب الجزئي (Partial Order Relation): هي علاقة انعكاسية ولاتناظرية ومتعدية. تحدد علاقة الترتيب الجزئي ترتيباً بين بعض العناصر في المجموعة، ولكن ليس بالضرورة بين جميعها. مثال: العلاقة “مجموعة جزئية من” (⊆) على مجموعة المجموعات.
- علاقة الترتيب الكلي (Total Order Relation): هي علاقة ترتيب جزئي حيث يكون كل زوج من العناصر قابلاً للمقارنة. أي أنه لكل عنصرين a و b في المجموعة، إما a يرتبط بـ b أو b يرتبط بـ a. مثال: العلاقة “أصغر من أو يساوي” (≤) على مجموعة الأعداد الحقيقية.
تمثيل العلاقات الثنائية
هناك عدة طرق لتمثيل العلاقات الثنائية:
- مجموعة الأزواج المرتبة: كما ذكرنا سابقًا، العلاقة هي ببساطة مجموعة من الأزواج المرتبة.
- الرسم البياني الموجه (Directed Graph): يمكن تمثيل العلاقة برسم بياني موجه، حيث تمثل الرؤوس عناصر المجموعة وتمثل الحواف العلاقات بين العناصر. توجد حافة من الرأس a إلى الرأس b إذا كان (a, b) ينتمي إلى العلاقة.
- المصفوفة (Matrix): يمكن تمثيل العلاقة بمصفوفة ثنائية، حيث الصفوف والأعمدة تمثل عناصر المجموعتين. العنصر في الصف i والعمود j هو 1 إذا كان (ai, bj) ينتمي إلى العلاقة، و 0 خلاف ذلك.
تطبيقات العلاقات الثنائية
تستخدم العلاقات الثنائية على نطاق واسع في مختلف مجالات الرياضيات وعلوم الحاسوب:
- قواعد البيانات: تستخدم العلاقات الثنائية لتمثيل العلاقات بين الجداول في قواعد البيانات العلائقية.
- نظرية المخططات: تستخدم العلاقات الثنائية لتمثيل الحواف في المخططات.
- علم الحاسوب النظري: تستخدم العلاقات الثنائية في دراسة الأوتوماتا واللغات الرسمية.
- الذكاء الاصطناعي: تستخدم العلاقات الثنائية في تمثيل المعرفة والاستدلال.
العمليات على العلاقات الثنائية
يمكن إجراء عدة عمليات على العلاقات الثنائية، بما في ذلك:
- التركيب (Composition): إذا كانت R هي علاقة من A إلى B و S هي علاقة من B إلى C، فإن تركيب R و S (يُرمز له بـ S ∘ R) هو علاقة من A إلى C، حيث (a, c) ينتمي إلى S ∘ R إذا كان هناك عنصر b في B بحيث (a, b) ينتمي إلى R و (b, c) ينتمي إلى S.
- المعكوس (Inverse): إذا كانت R هي علاقة من A إلى B، فإن معكوس R (يُرمز له بـ R-1) هو علاقة من B إلى A، حيث (b, a) ينتمي إلى R-1 إذا كان (a, b) ينتمي إلى R.
- الاتحاد (Union): إذا كانت R و S علاقتين من A إلى B، فإن اتحادهما (يُرمز له بـ R ∪ S) هو علاقة من A إلى B، حيث (a, b) ينتمي إلى R ∪ S إذا كان (a, b) ينتمي إلى R أو (a, b) ينتمي إلى S.
- التقاطع (Intersection): إذا كانت R و S علاقتين من A إلى B، فإن تقاطعهما (يُرمز له بـ R ∩ S) هو علاقة من A إلى B، حيث (a, b) ينتمي إلى R ∩ S إذا كان (a, b) ينتمي إلى R و (a, b) ينتمي إلى S.
مثال تطبيقي: علاقات القرابة
يمكن استخدام العلاقات الثنائية لتمثيل علاقات القرابة بين الأفراد. على سبيل المثال، يمكن تعريف علاقة “والد” بين مجموعة من الأشخاص. إذا كان أحمد هو والد محمد، فإن الزوج المرتب (أحمد، محمد) ينتمي إلى العلاقة “والد”. وبالمثل، يمكن تعريف علاقات أخرى مثل “أخ”، “أخت”، “زوج”، “زوجة”، وغيرها.
يمكن استخدام خصائص العلاقات الثنائية لتحليل علاقات القرابة واستنتاج معلومات جديدة. على سبيل المثال، إذا علمنا أن العلاقة “جد” هي تركيب العلاقة “والد” مع نفسها (أي، x هو جد z إذا كان هناك y بحيث x هو والد y و y هو والد z)، فيمكننا استنتاج أن أحمد هو جد حفيد محمد إذا كان أحمد هو والد والد محمد.
خاتمة
العلاقات الثنائية هي أداة أساسية في الرياضيات وعلوم الحاسوب لتمثيل الروابط والعلاقات بين العناصر في المجموعات المختلفة. فهم خصائصها وأنواعها المختلفة يتيح لنا تحليل المشكلات وحلها بطرق فعالة ومنظمة. من خلال تطبيقاتها المتنوعة، تلعب العلاقات الثنائية دوراً حاسماً في العديد من المجالات، من قواعد البيانات إلى الذكاء الاصطناعي.