التوزيع الثنائي (Binomial Distribution)

<![CDATA[

مقدمة

يعتبر التوزيع الثنائي من أهم التوزيعات الاحتمالية المنفصلة وأكثرها استخدامًا. يستخدم على نطاق واسع في مجالات متنوعة مثل علم الأحياء، والهندسة، والاقتصاد، والتسويق، وغيرها. يعتمد التوزيع الثنائي على عدة افتراضات رئيسية يجب تحقيقها لكي يكون استخدامه صحيحًا ومناسبًا.

افتراضات التوزيع الثنائي

لكي نستخدم التوزيع الثنائي، يجب أن تتحقق الشروط التالية:

عدد ثابت من التجارب: يجب أن يكون لدينا عدد محدد وثابت من التجارب المستقلة، يُرمز له بالرمز n.
استقلالية التجارب: يجب أن تكون نتائج التجارب مستقلة عن بعضها البعض. بمعنى آخر، نتيجة تجربة واحدة لا تؤثر على نتائج التجارب الأخرى.
احتمال ثابت للنجاح: يجب أن يكون احتمال النجاح (p) ثابتًا في كل تجربة. بالمقابل، يكون احتمال الفشل (q) ثابتًا أيضًا ويساوي 1 – p.
نتيجة ثنائية: يجب أن يكون لكل تجربة نتيجتان محتملتان فقط: النجاح أو الفشل.

دالة الاحتمال للتوزيع الثنائي

دالة الاحتمال (Probability Mass Function – PMF) للتوزيع الثنائي تعطي احتمال الحصول على k من النجاحات في n من التجارب، وتعطى بالصيغة التالية:

P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1 – p)^{(n – k)}

حيث:

P(X = k) هو احتمال الحصول على k من النجاحات.
(n choose k) هو معامل التوافيق، ويمثل عدد الطرق المختلفة لاختيار k من النجاحات من بين n من التجارب، ويُحسب كالتالي: (n choose k) = n! / (k! * (n – k)!)
p هو احتمال النجاح في تجربة واحدة.
(1 – p) هو احتمال الفشل في تجربة واحدة.
n هو عدد التجارب.
k هو عدد النجاحات المطلوبة.

المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع الثنائي

يمكن حساب المتوسط والتباين والانحراف المعياري للتوزيع الثنائي باستخدام الصيغ التالية:

المتوسط (Mean): μ = n * p
التباين (Variance): σ² = n * p * (1 – p)
الانحراف المعياري (Standard Deviation): σ = √(n * p * (1 – p))

أمثلة على التوزيع الثنائي

مثال 1: لنفترض أن لدينا قطعة نقدية عادلة (احتمال ظهور الصورة = 0.5). إذا قمنا برمي القطعة النقدية 10 مرات، فما هو احتمال الحصول على 6 صور؟

في هذه الحالة:

n = 10 (عدد التجارب)
p = 0.5 (احتمال النجاح، أي ظهور الصورة)
k = 6 (عدد النجاحات المطلوبة)

باستخدام دالة الاحتمال:

P(X = 6) = (10 choose 6) * (0.5)⁶ * (0.5)⁴

P(X = 6) = 210 * (0.015625) * (0.0625) ≈ 0.205

إذن، احتمال الحصول على 6 صور من بين 10 رميات هو حوالي 20.5%.

مثال 2: مصنع ينتج مصابيح كهربائية. إذا كان احتمال أن يكون المصباح معيبًا هو 0.05، وأخذنا عينة عشوائية من 20 مصباحًا، فما هو احتمال وجود مصباحين معيبين في العينة؟

في هذه الحالة:

n = 20 (عدد التجارب)
p = 0.05 (احتمال النجاح، أي أن يكون المصباح معيبًا)
k = 2 (عدد النجاحات المطلوبة)

باستخدام دالة الاحتمال:

P(X = 2) = (20 choose 2) * (0.05)² * (0.95)¹⁸

P(X = 2) = 190 * (0.0025) * (0.3972) ≈ 0.1887

إذن، احتمال وجود مصباحين معيبين في العينة هو حوالي 18.87%.

تطبيقات التوزيع الثنائي

للتوزيع الثنائي تطبيقات واسعة في مختلف المجالات، ومن بين هذه التطبيقات:

مراقبة الجودة: يستخدم في تحديد جودة المنتجات وتحديد نسبة المنتجات المعيبة في خط الإنتاج.
استطلاعات الرأي: يستخدم في تحليل نتائج استطلاعات الرأي العام لتحديد نسبة المؤيدين لمرشح معين أو قضية معينة.
علم الوراثة: يستخدم في دراسة توزيع الصفات الوراثية في الأجيال المتعاقبة.
التأمين: يستخدم في حساب احتمالات المطالبات التأمينية وتحديد أقساط التأمين المناسبة.
البحوث الطبية: يستخدم في تقييم فعالية الأدوية والعلاجات الطبية.

العلاقة بين التوزيع الثنائي وتوزيع بواسون

عندما يكون عدد التجارب (n) كبيرًا واحتمال النجاح (p) صغيرًا جدًا، يمكن تقريب التوزيع الثنائي بتوزيع بواسون. يعتبر توزيع بواسون حالة خاصة من التوزيع الثنائي حيث n يؤول إلى اللانهاية و p يؤول إلى الصفر، بحيث يكون حاصل ضرب n و p ثابتًا. هذه العلاقة مفيدة لأن حساب الاحتمالات باستخدام توزيع بواسون أسهل في بعض الحالات من حسابها باستخدام التوزيع الثنائي، خاصة عندما يكون n كبيرًا.

العلاقة بين التوزيع الثنائي والتوزيع الطبيعي

عندما يكون عدد التجارب (n) كبيرًا بما يكفي، يمكن تقريب التوزيع الثنائي بالتوزيع الطبيعي. القاعدة العامة هي أنه إذا كان n * p ≥ 5 و n * (1 – p) ≥ 5، فإن التوزيع الثنائي يمكن تقريبه بشكل جيد بالتوزيع الطبيعي. في هذه الحالة، يمكن استخدام المتوسط والتباين للتوزيع الثنائي لحساب المتوسط والانحراف المعياري للتوزيع الطبيعي المقرب.

حدود التوزيع الثنائي

على الرغم من أن التوزيع الثنائي مفيد جدًا، إلا أنه يجب استخدامه بحذر والتأكد من تحقق الافتراضات الأساسية. من بين القيود:

الاستقلالية: يجب أن تكون التجارب مستقلة. إذا كانت التجارب غير مستقلة، فقد لا يكون التوزيع الثنائي مناسبًا.
احتمال ثابت: يجب أن يكون احتمال النجاح ثابتًا في جميع التجارب. إذا كان الاحتمال يتغير من تجربة إلى أخرى، فقد لا يكون التوزيع الثنائي مناسبًا.
عدد ثابت من التجارب: يجب أن يكون عدد التجارب محددًا وثابتًا. إذا كان عدد التجارب غير محدد، فقد لا يكون التوزيع الثنائي مناسبًا.

خاتمة

التوزيع الثنائي هو توزيع احتمالي منفصل يصف احتمال الحصول على عدد محدد من النجاحات في سلسلة من التجارب المستقلة. يعتمد على عدد من الافتراضات الأساسية التي يجب تحقيقها لكي يكون استخدامه صحيحًا. يستخدم على نطاق واسع في مجالات متنوعة مثل مراقبة الجودة، واستطلاعات الرأي، وعلم الوراثة، والتأمين، والبحوث الطبية. يمكن تقريب التوزيع الثنائي بتوزيع بواسون عندما يكون عدد التجارب كبيرًا واحتمال النجاح صغيرًا، ويمكن تقريبه بالتوزيع الطبيعي عندما يكون عدد التجارب كبيرًا بما يكفي.

المراجع

]]>