<![CDATA[
مقدمة
الانحدار الموضعي، أو الانحدار متعدد الحدود الموضعي، المعروف أيضًا باسم الانحدار المتحرك، هو تعميم للمتوسط المتحرك وتقنيات الانحدار التقليدية. بدلاً من بناء نموذج واحد عالمي لبيانات كاملة، يقوم الانحدار الموضعي بتركيب نماذج بسيطة (مثل الخطوط المستقيمة أو الدوال التربيعية) لأجزاء صغيرة من البيانات، ثم يجمع هذه النماذج المحلية لإنشاء تقدير لمنحنى الانحدار ككل. هذه المرونة تجعله أداة قوية للتعامل مع البيانات المعقدة وغير الخطية.
آلية عمل الانحدار الموضعي
يكمن جوهر الانحدار الموضعي في فكرة تركيب نماذج بسيطة على نطاقات محلية من البيانات. لتقدير قيمة عند نقطة معينة، يتم اختيار مجموعة فرعية من نقاط البيانات القريبة من تلك النقطة. يتم تحديد “القرب” عادةً باستخدام دالة وزن، والتي تعطي وزنًا أكبر للنقاط الأقرب وأوزانًا أقل للنقاط الأبعد. ثم يتم تركيب نموذج انحدار بسيط (غالبًا خطي أو تربيعي) على هذه المجموعة الفرعية الموزونة من البيانات. يتم استخدام هذا النموذج المحلي لتقدير القيمة عند النقطة المستهدفة. يتم تكرار هذه العملية لكل نقطة في نطاق البيانات لإنشاء منحنى الانحدار الكامل.
دالة الوزن
تلعب دالة الوزن دورًا حاسمًا في الانحدار الموضعي. تحدد الدالة كيفية تأثير كل نقطة بيانات على النموذج المحلي. تتضمن بعض دوال الوزن الشائعة ما يلي:
- دالة الوزن المثلثية: تعطي وزنًا خطيًا متناقصًا مع زيادة المسافة من النقطة المستهدفة.
- دالة الوزن التربيعية: تعطي وزنًا يتناقص تربيعيًا مع زيادة المسافة.
- دالة الوزن Gaussian (الغوسية): تعطي وزنًا يتناقص وفقًا لتوزيع غاوسي.
يعتمد اختيار دالة الوزن على التطبيق المحدد والخصائص المرغوبة للنموذج. بشكل عام، تفضل الدوال الأكثر سلاسة (مثل Gaussian) لإنتاج منحنيات أكثر سلاسة.
عرض النطاق (Bandwidth)
بالإضافة إلى دالة الوزن، يعتبر عرض النطاق معلمة مهمة أخرى في الانحدار الموضعي. يحدد عرض النطاق حجم المنطقة المحلية المستخدمة لتركيب كل نموذج. يؤدي عرض النطاق الصغير إلى نماذج محلية أكثر حساسية للتقلبات في البيانات، بينما يؤدي عرض النطاق الكبير إلى نماذج أكثر سلاسة ولكنها قد تفقد بعض التفاصيل المهمة. يعتبر اختيار عرض النطاق المناسب مهمة صعبة تتطلب غالبًا التجريب أو استخدام تقنيات التحقق المتبادل (Cross-Validation).
أنواع نماذج الانحدار الموضعي
يمكن استخدام أنواع مختلفة من نماذج الانحدار في الانحدار الموضعي، اعتمادًا على تعقيد البيانات والعلاقة المفترضة بين المتغيرات:
- الانحدار الخطي الموضعي: يستخدم خطًا مستقيمًا لتركيب البيانات المحلية. هذا هو أبسط أنواع الانحدار الموضعي وهو مناسب للعلاقات التي يمكن تقريبها بخط مستقيم على نطاقات صغيرة.
- الانحدار التربيعي الموضعي: يستخدم دالة تربيعية لتركيب البيانات المحلية. يمكن لهذا النوع من الانحدار التقاط العلاقات الأكثر تعقيدًا من الانحدار الخطي.
- الانحدار متعدد الحدود الموضعي: يستخدم متعدد حدود من الدرجة الأعلى لتركيب البيانات المحلية. يسمح هذا النوع من الانحدار بمرونة أكبر ولكنه قد يكون عرضة للإفراط في التخصيص (Overfitting) إذا لم يتم استخدامه بحذر.
مزايا الانحدار الموضعي
يقدم الانحدار الموضعي العديد من المزايا مقارنة بتقنيات الانحدار التقليدية:
- المرونة: يمكن للانحدار الموضعي التقاط العلاقات المعقدة وغير الخطية في البيانات التي قد يكون من الصعب نمذجتها باستخدام نماذج عالمية.
- عدم وجود افتراضات صارمة: لا يتطلب الانحدار الموضعي افتراضات قوية حول شكل العلاقة بين المتغيرات. هذا يجعله أداة مفيدة في الحالات التي تكون فيها العلاقة غير معروفة أو معقدة.
- القدرة على التكيف: يمكن للانحدار الموضعي التكيف مع التغيرات في العلاقة بين المتغيرات عبر نطاق البيانات.
عيوب الانحدار الموضعي
على الرغم من مزاياه، فإن الانحدار الموضعي له أيضًا بعض العيوب:
- الحسابية: يمكن أن يكون الانحدار الموضعي مكلفًا من الناحية الحسابية، خاصة بالنسبة لمجموعات البيانات الكبيرة. يتطلب تركيب نموذج محلي لكل نقطة في البيانات، مما قد يستغرق وقتًا طويلاً.
- اختيار عرض النطاق: يعتبر اختيار عرض النطاق المناسب أمرًا بالغ الأهمية لأداء الانحدار الموضعي. يمكن أن يؤدي عرض النطاق الصغير جدًا إلى الإفراط في التخصيص، بينما يمكن أن يؤدي عرض النطاق الكبير جدًا إلى التقليل من التخصيص.
- التفسير: يمكن أن يكون تفسير نماذج الانحدار الموضعي أكثر صعوبة من تفسير النماذج العالمية. لا يوجد نموذج عالمي واحد يمكن تحليله، بل مجموعة من النماذج المحلية.
تطبيقات الانحدار الموضعي
يستخدم الانحدار الموضعي في مجموعة واسعة من المجالات، بما في ذلك:
- التمويل: لنمذجة أسعار الأسهم وأسعار الفائدة.
- علم البيئة: لنمذجة العلاقات بين المتغيرات البيئية.
- علم الأوبئة: لنمذجة انتشار الأمراض.
- الهندسة: لنمذجة أداء الأنظمة الهندسية.
- الذكاء الاصطناعي: يستخدم الانحدار الموضعي في بعض خوارزميات التعلم الآلي، مثل خوارزميات أقرب الجيران (Nearest Neighbors).
مثال عملي
لنفترض أن لدينا مجموعة بيانات تربط بين درجة الحرارة اليومية ومبيعات الآيس كريم. قد تكون العلاقة بين هذين المتغيرين غير خطية، حيث تزداد المبيعات بشكل أسرع مع ارتفاع درجة الحرارة. يمكننا استخدام الانحدار الموضعي لنمذجة هذه العلاقة. أولاً، نختار دالة وزن وعرض نطاق. ثم، لكل درجة حرارة، نختار مجموعة فرعية من نقاط البيانات القريبة من تلك الدرجة ونركب نموذج انحدار خطي على هذه المجموعة الفرعية. يتم استخدام هذا النموذج لتقدير مبيعات الآيس كريم عند تلك الدرجة. بتكرار هذه العملية لجميع درجات الحرارة، نحصل على منحنى يمثل العلاقة بين درجة الحرارة والمبيعات.
الانحدار الموضعي مقابل الانحدار التقليدي
يختلف الانحدار الموضعي عن الانحدار التقليدي (مثل الانحدار الخطي المتعدد) في عدة جوانب رئيسية. في الانحدار التقليدي، يتم بناء نموذج عالمي واحد لبيانات كاملة. هذا النموذج له مجموعة ثابتة من المعاملات التي تنطبق على جميع نقاط البيانات. في المقابل، يقوم الانحدار الموضعي ببناء نماذج محلية متعددة، لكل منها مجموعة المعاملات الخاصة بها. هذا يسمح للانحدار الموضعي بالتقاط العلاقات الأكثر تعقيدًا التي لا يمكن نمذجتها باستخدام النماذج العالمية. بالإضافة إلى ذلك، يتطلب الانحدار التقليدي افتراضات قوية حول شكل العلاقة بين المتغيرات، في حين أن الانحدار الموضعي أكثر مرونة ويمكنه التكيف مع التغيرات في العلاقة عبر نطاق البيانات.
خاتمة
الانحدار الموضعي هو أداة قوية ومرنة لنمذجة العلاقات المعقدة وغير الخطية في البيانات. على الرغم من أنه قد يكون أكثر تكلفة من الناحية الحسابية من تقنيات الانحدار التقليدية، إلا أنه يوفر العديد من المزايا، بما في ذلك القدرة على التكيف مع التغيرات في العلاقة بين المتغيرات وعدم وجود افتراضات صارمة حول شكل العلاقة. يستخدم الانحدار الموضعي في مجموعة واسعة من المجالات، من التمويل إلى علم البيئة إلى الهندسة، وهو أداة قيمة لأي شخص يعمل مع البيانات.