دالة الإنتروبيا الثنائية (Binary Entropy Function)

<![CDATA[

مقدمة في الإنتروبيا

الإنتروبيا، بشكل عام، هي مقياس لعدم اليقين أو العشوائية في نظام ما. في سياق نظرية المعلومات، قدمها كلود شانون في ورقته البحثية الرائدة “نظرية رياضية للاتصالات” عام 1948. تُعبر الإنتروبيا عن متوسط كمية المعلومات التي يتم الحصول عليها عند مراقبة متغير عشوائي. كلما زادت الإنتروبيا، زاد عدم اليقين بشأن نتيجة المتغير العشوائي.

لفهم الإنتروبيا، تخيل أن لديك عملة معدنية. إذا كانت العملة متوازنة، فإن احتمال الحصول على “رأس” هو 0.5، واحتمال الحصول على “ذيل” هو 0.5. في هذه الحالة، تكون الإنتروبيا عالية، لأنك غير متأكد من النتيجة. أما إذا كانت العملة تظهر “رأس” دائمًا، فإن الإنتروبيا تكون منخفضة جدًا (تساوي صفرًا)، لأنك متأكد من النتيجة مسبقًا.

تعريف دالة الإنتروبيا الثنائية

تُعرّف دالة الإنتروبيا الثنائية لمتغير عشوائي ثنائي، مثل متغير يمثل نتيجة رمي عملة معدنية، بالصيغة التالية:

H(p) = -p * log₂(p) – (1 – p) * log₂(1 – p)

حيث:

p هو احتمال حدوث إحدى الحالتين (مثل الحصول على “رأس”).
log₂ هو اللوغاريتم ذو الأساس 2 (البت).
إذا كان p = 0 أو p = 1، فإننا نعتبر أن log₂(0) = 0، لتجنب عدم تحديد قيمة الدالة.

خصائص دالة الإنتروبيا الثنائية

لدالة الإنتروبيا الثنائية عدة خصائص مهمة:

النطاق: تتراوح قيمة H(p) بين 0 و 1.
H(0) = H(1) = 0: إذا كان الاحتمال p هو 0 أو 1، فإن عدم اليقين ينعدم، والإنتروبيا تساوي صفرًا. هذا يعني أن النتيجة معروفة بالتأكيد.
H(0.5) = 1: عندما يكون p = 0.5 (مثل رمي عملة متوازنة)، تكون الإنتروبيا في أقصى قيمة لها، وتساوي 1 بت. هذا يعني أن أقصى قدر من عدم اليقين موجود، ويتطلب معرفة النتيجة بت واحد.
التماثل: H(p) = H(1 – p). الإنتروبيا متماثلة حول p = 0.5. هذا يعني أن الإنتروبيا لنفس متغير عشوائي ثنائي تظل كما هي إذا عكسنا الاحتمالات (تبديل “رأس” بـ”ذيل”).
الرتابة: تزداد H(p) من 0 إلى 1 عندما يزداد p من 0 إلى 0.5، ثم تتناقص من 1 إلى 0 عندما يزداد p من 0.5 إلى 1.

أمثلة على استخدام دالة الإنتروبيا الثنائية

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة لتوضيح كيفية عمل دالة الإنتروبيا الثنائية:

عملة متوازنة: إذا كانت العملة متوازنة (p = 0.5)، فإن H(0.5) = -0.5 * log₂(0.5) – 0.5 * log₂(0.5) = 1. هذا يعني أنك تحتاج إلى بت واحد في المتوسط لتمثيل نتيجة رمي العملة.
عملة غير متوازنة: إذا كانت العملة متحيزة (p = 0.75)، فإن H(0.75) ≈ -0.75 * log₂(0.75) – 0.25 * log₂(0.25) ≈ 0.81 بت. لاحظ أن الإنتروبيا أقل من 1، لأنك تعلم أن هناك احتمالًا أكبر للحصول على “رأس”.
عملة تظهر دائمًا “رأس”: إذا كانت العملة دائمًا ما تظهر “رأس” (p = 1)، فإن H(1) = 0. لا يوجد عدم يقين، وبالتالي لا توجد معلومات إضافية مطلوبة.

تطبيقات دالة الإنتروبيا الثنائية

تجد دالة الإنتروبيا الثنائية تطبيقات واسعة في العديد من المجالات، بما في ذلك:

ضغط البيانات: تُستخدم دالة الإنتروبيا الثنائية لحساب الحد الأدنى لمتوسط عدد البتات اللازمة لتمثيل بيانات ثنائية. يتيح هذا فهمًا لكفاءة خوارزميات ضغط البيانات. على سبيل المثال، يمكن لخوارزمية هوفمان استخدام الإنتروبيا لتحديد رموز متغيرة الطول للبيانات.
نظرية الترميز: تلعب دورًا أساسيًا في نظرية الترميز، حيث تحدد الحد الأدنى لنقل المعلومات بشكل موثوق عبر قناة صاخبة.
معالجة الإشارات: تستخدم لتحليل الإشارات الرقمية، مثل الإشارات التي تمثل صورًا أو صوتًا.
تعلم الآلة: تستخدم في بعض خوارزميات التعلم الآلي، مثل الأشجار القرار، لتقييم مدى “نقاء” تقسيم البيانات.
الاحتمالات والإحصاء: تستخدم في الإحصائيات لوصف عشوائية متغيرات برنولي.

العلاقة بين دالة الإنتروبيا الثنائية وبعض المفاهيم الأخرى

ترتبط دالة الإنتروبيا الثنائية ارتباطًا وثيقًا بمفاهيم أخرى في نظرية المعلومات، مثل:

الإنتروبيا المتقاطعة: مقياس للمعلومات المفقودة عند استخدام توزيع احتمالي لتمثيل توزيع احتمالي آخر.
تباعد كولباك-ليبلر (KL divergence): مقياس للاختلاف بين توزيعين احتماليين.
معلومات متبادلة: مقياس لكمية المعلومات التي نحصل عليها عن متغير عشوائي واحد عن طريق مراقبة متغير عشوائي آخر.

أمثلة على حساب الإنتروبيا في البرمجة (بايثون)

يمكن حساب الإنتروبيا الثنائية بسهولة باستخدام لغات البرمجة مثل بايثون. إليك مثال بسيط:


        import math

        def binary_entropy(p):
            if p == 0 or p == 1:
                return 0
            return -p * math.log2(p) - (1 - p) * math.log2(1 - p)

        # مثال
        probability = 0.75
        entropy = binary_entropy(probability)
        print(f"The binary entropy for p = {probability} is: {entropy}")

في هذا الكود، نقوم بتعريف دالة binary_entropy التي تأخذ الاحتمال p كمدخل. ثم نحسب الإنتروبيا باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه. يعالج الكود أيضًا الحالات الخاصة حيث p تساوي 0 أو 1.

أهمية دالة الإنتروبيا الثنائية في تصميم أنظمة الاتصالات

تلعب دالة الإنتروبيا الثنائية دورًا حاسمًا في تصميم أنظمة الاتصالات الفعالة. من خلال فهم الإنتروبيا المرتبطة بمصدر المعلومات، يمكن للمهندسين تصميم أنظمة ترميز (encoding) وتقنيات ضغط تقلل من كمية البيانات التي يجب إرسالها، مع الحفاظ على جودة الاتصال. يساعد ذلك على:

زيادة كفاءة استخدام عرض النطاق الترددي: من خلال ضغط البيانات، يمكن إرسال المزيد من المعلومات في نفس عرض النطاق الترددي.
تحسين موثوقية الاتصال: من خلال تقليل حجم البيانات، يتم تقليل تأثير الضوضاء والأخطاء على نقل المعلومات.
توفير الطاقة: في الأجهزة المحمولة، يمكن أن يؤدي تقليل حجم البيانات إلى تقليل استهلاك الطاقة اللازم لنقل البيانات.

قيود دالة الإنتروبيا الثنائية

على الرغم من أهميتها، هناك بعض القيود على دالة الإنتروبيا الثنائية:

التبسيط: تفترض أن البيانات ثنائية (حدثان محتملان فقط). قد لا تكون هذه فرضية صالحة لجميع أنواع البيانات.
الاستقلالية: تفترض أن الأحداث مستقلة. إذا كانت هناك تبعيات بين الأحداث، فقد لا تكون الإنتروبيا مقياسًا دقيقًا لعدم اليقين.
التعقيد الحسابي: قد يكون حساب الإنتروبيا معقدًا، خاصة عند التعامل مع مجموعات بيانات كبيرة.

توسيع نطاق دالة الإنتروبيا

بالإضافة إلى دالة الإنتروبيا الثنائية، هناك أيضًا مفاهيم إنتروبيا أخرى يمكن تطبيقها على حالات أكثر تعقيدًا:

إنتروبيا شانون: تعميم لدالة الإنتروبيا الثنائية، تنطبق على أي متغير عشوائي منفصل.
الإنتروبيا التفاضلية: تستخدم لقياس عدم اليقين لمتغيرات عشوائية مستمرة.

خاتمة

دالة الإنتروبيا الثنائية هي أداة أساسية في نظرية المعلومات، وتوفر مقياسًا كميًا لعدم اليقين المرتبط بمتغير عشوائي ثنائي. فهم هذه الدالة وخصائصها وتطبيقاتها أمر ضروري في مجالات مثل ضغط البيانات، ونظرية الترميز، والاتصالات، وتعلم الآلة. من خلال تحليل الإنتروبيا، يمكننا تصميم أنظمة أكثر كفاءة وموثوقية لنقل وتخزين المعلومات. على الرغم من بعض القيود، فإن دالة الإنتروبيا الثنائية تظل أداة قيمة لفهم وتقييم العشوائية في الأنظمة الثنائية.