المجموعة المقبولة (Admissible Set)

مقدمة في نظرية المجموعات

نظرية المجموعات هي دراسة المجموعات، وهي تجمعات من الأشياء المميزة. تشكل نظرية المجموعات الأساس الذي تقوم عليه معظم فروع الرياضيات الأخرى. يعود الفضل في تطويرها إلى عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور، الذي قدم العديد من المفاهيم الأساسية في أواخر القرن التاسع عشر. تعتمد نظرية المجموعات على البديهيات، وهي مجموعة من الافتراضات التي تُعتبر صحيحة من تلقاء نفسها، والتي يمكن من خلالها اشتقاق النظريات والنتائج الأخرى.

من البديهيات الأساسية في نظرية المجموعات:

بديهية الإنشاء (Axiom of empty set): تنص على وجود مجموعة فارغة لا تحتوي على أي عناصر.
بديهية الزوج (Axiom of pairing): تنص على أنه لكل شيئين، توجد مجموعة تحتوي على هذين الشيئين فقط.
بديهية الاتحاد (Axiom of union): تنص على أنه لكل مجموعة من المجموعات، توجد مجموعة تحتوي على جميع عناصر هذه المجموعات.
بديهية القوة (Axiom of power set): تنص على أنه لكل مجموعة، توجد مجموعة تحتوي على جميع المجموعات الجزئية لهذه المجموعة.
بديهية الاستبدال (Axiom schema of replacement): تسمح بإنشاء مجموعات جديدة من خلال استبدال عناصر مجموعة بأشياء أخرى وفقًا لدالة معينة.
بديهية اللا نهاية (Axiom of infinity): تضمن وجود مجموعة لا نهائية، مثل مجموعة الأعداد الطبيعية.
بديهية التأسيس (Axiom of regularity): تمنع المجموعات التي تحتوي على نفسها كعنصر، وتضمن أن كل مجموعة لديها عنصر لا يشترك معها.
بديهية الاختيار (Axiom of choice): تنص على أنه لكل مجموعة من المجموعات غير الفارغة، توجد دالة اختيار تختار عنصرًا واحدًا من كل مجموعة.

هذه البديهيات تشكل الأساس لنظرية المجموعات Zermelo–Fraenkel (ZF)، وهي النظام الأكثر شيوعًا لنظرية المجموعات. يمكن للمرء أن يضيف بديهيات إضافية إلى نظام ZF للحصول على أنظمة نظرية مجموعات أخرى، مثل نظرية مجموعات ZFC، والتي تتضمن بديهية الاختيار.

المجموعات المتعدية

المجموعات المتعدية هي مفهوم أساسي في سياق دراسة المجموعات المقبولة. المجموعة المتعدية هي مجموعة كل عنصر من عناصرها هو أيضًا مجموعة جزئية منها. بعبارة أخرى، إذا كان x عنصرًا في A، وكان A مجموعة متعدية، فإن x يجب أن يكون مجموعة جزئية من A. هذا يعني أن جميع عناصر عناصر A يجب أن تكون أيضًا عناصر في A.

أمثلة على المجموعات المتعدية:

المجموعة الفارغة: {} هي مجموعة متعدية، لأنها لا تحتوي على أي عناصر، وبالتالي فإن شرط التعدي يتحقق بشكل تلقائي.
{ {} }: هي مجموعة متعدية، لأن العنصر الوحيد هو المجموعة الفارغة، وهي مجموعة جزئية من المجموعة نفسها.
{ {}, { {} } }: هي مجموعة متعدية.
مجموعة الأعداد الطبيعية: {0, {0}, {0, {0}}, …} هي مجموعة متعدية.

أمثلة على المجموعات غير المتعدية:

{1, 2, 3}: هذه المجموعة ليست متعدية، لأن العناصر 1، 2، و 3 ليست مجموعات جزئية من المجموعة نفسها.
{1, {2, 3}}: هذه المجموعة ليست متعدية، لأن العنصر 1 ليس مجموعة جزئية.

تلعب المجموعات المتعدية دورًا حاسمًا في نظرية المجموعات، خاصة في بناء نماذج لـ ZF وغيرها من أنظمة نظرية المجموعات. تعتبر المجموعات المتعدية بمثابة “كون” مصغر، حيث يمكن للمرء أن يبني هيكلًا كاملاً لنظرية المجموعات.

نظرية مجموعات Kripke–Platek (KP)

نظرية مجموعات Kripke–Platek (KP) هي نظام بديهي لنظرية المجموعات، وهي نسخة ضعيفة نسبيًا من نظرية مجموعات Zermelo–Fraenkel (ZF). تم اقتراحها في الأصل من قبل سول كريبكي ومايكل بلاتيك. KP تهدف إلى تقديم أساس قوي بما يكفي لتقديم رياضيات معينة مع تجنب بعض المفارقات التي يمكن أن تظهر في أنظمة نظرية المجموعات الأقوى. KP تختلف عن ZF في أنها تستبعد بديهية اللانهاية وبديهية القوة. KP تتضمن بديهية التأسيس (أو بديهية الانحلال) وبديهية الاستبدال محدودة الاستخدام، وتضيف بعض البديهيات الأخرى ذات الصلة.

البديهيات الأساسية في KP:

البديهيات المنطقية: تنص على قواعد المنطق.
بديهية الامتداد: مجموعتان متساويتان إذا كان لهما نفس العناصر.
بديهية الانحلال (أو التأسيس): كل مجموعة غير فارغة لديها عنصر لا يشترك مع المجموعة نفسها.
بديهية الأزواج: إذا كان x و y مجموعتين، فإن {x, y} هي مجموعة.
بديهية الاتحاد: إذا كانت F مجموعة من المجموعات، فإن ∪F هي مجموعة.
بديهية Δ₀-الانفصال: إذا كانت φ هي صيغة Δ₀ وx مجموعة، فإن {y ∈ x | φ(y)} هي مجموعة.
بديهية Δ₀-الاستبدال: إذا كانت φ هي صيغة Δ₀ وF دالة على x، فإن {φ(y) | y ∈ x} هي مجموعة.

تتميز نظرية مجموعات KP بأنها مقيدة إلى حد ما، مما يجعلها مفيدة في دراسة نماذج نظرية المجموعات وأكثر ملاءمة في الحالات التي تكون فيها بعض النماذج محدودة. يمكن اعتبار KP بمثابة الأساس المناسب للعديد من فروع الرياضيات التي لا تتطلب قوة ZF الكاملة.

صيغ Δ₀: في KP، تلعب صيغ Δ₀ دورًا مهمًا. صيغة Δ₀ هي صيغة تحتوي على كميات مقيدة فقط، أي أن كل كمية مرتبطة بمجموعة. هذه القيود تمنع بعض المفارقات المحتملة وتضمن أن نظرية KP تظل متسقة.

المجموعات المقبولة كنماذج لـ KP

المجموعة المقبولة هي مجموعة متعدية، وتُشكل نموذجًا لنظرية KP. هذا يعني أن المجموعة المقبولة تحقق جميع بديهيات KP. يمكن للمرء أن يفكر في مجموعة مقبولة ككون “منضبط” أو “صغير” لنظرية المجموعات، حيث جميع البديهيات تتحقق. يعتبر شرط التعدي ضروريًا هنا، لأنه يضمن أن جميع عناصر عناصر المجموعة المقبولة موجودة أيضًا داخل المجموعة نفسها.

بشكل أكثر تحديدًا، المجموعة المقبولة هي مجموعة متعدية A تحقق الشروط التالية:

A نموذج لنظرية KP.
A تحقق جميع البديهيات المنطقية لـ KP.
إذا كانت φ هي صيغة Δ₀، وa ∈ A، و A تحقق φ(a)، إذن فإن a ∈ A.

أمثلة على المجموعات المقبولة:

L: كون Gödel القابل للإنشاء هو مثال على مجموعة مقبولة.
HOD: مجموعة المجموعات المنحدرة هي أيضًا مجموعة مقبولة.
مجموعات V_α: لمراحل معينة من التسلسل المتراكم لكون المجموعات، يمكن أن تكون V_α مجموعات مقبولة.

دراسة المجموعات المقبولة تسمح لنا بفهم أفضل لطبيعة نظرية المجموعات، وتساعد في دراسة الاتساق وخصائص النماذج المختلفة لهذه النظرية.

خصائص المجموعات المقبولة

المجموعات المقبولة تتمتع بالعديد من الخصائص الهامة:

التعدي: كما ذكرنا، فإن جميع المجموعات المقبولة هي مجموعات متعدية.
التمثيل: داخل المجموعة المقبولة، يمكننا أن نعيد تمثيل العديد من المفاهيم الرياضية، مثل الأعداد الطبيعية، والأزواج، والوظائف.
الاستقرار: المجموعات المقبولة مستقرة نسبيًا فيما يتعلق ببعض العمليات، بمعنى أنها تظل مجموعات مقبولة عند إضافة أو إزالة بعض العناصر.
النماذج: المجموعات المقبولة تشكل نماذج لـ KP، مما يعني أنها تحقق جميع بديهيات KP.

هذه الخصائص تجعل المجموعات المقبولة أدوات مفيدة في دراسة نظرية المجموعات، خاصة في مجالات مثل نظرية النماذج (model theory) ودراسة الاتساق (consistency) في نظرية المجموعات.

أهمية المجموعات المقبولة

تعتبر المجموعات المقبولة ذات أهمية كبيرة في سياق نظرية المجموعات لعدة أسباب:

نظرية النماذج: توفر المجموعات المقبولة أمثلة مفيدة للدراسة في نظرية النماذج، حيث تسمح بتحليل الخصائص الهيكلية لنماذج نظرية المجموعات.
الاتساق: تساعد دراسة المجموعات المقبولة في فهم قضايا الاتساق في نظرية المجموعات. على سبيل المثال، يمكن استخدام المجموعات المقبولة لإثبات أن بعض النظريات متسقة أو غير متسقة.
الرياضيات التأسيسية: تساهم المجموعات المقبولة في توفير أساس متين للرياضيات، حيث أنها توفر إطارًا منطقيًا لدراسة المفاهيم الرياضية.
الحسابية: يمكن استخدام المجموعات المقبولة في دراسة بعض المشاكل الحسابية ونظرية التعقيد.

بشكل عام، تعتبر المجموعات المقبولة أداة مهمة لفهم طبيعة نظرية المجموعات وعلاقتها بفروع الرياضيات الأخرى.

تطبيقات المجموعات المقبولة

تجد المجموعات المقبولة تطبيقات في مجالات مختلفة من الرياضيات وعلوم الحاسوب:

نظرية التعقيد الحسابي: تستخدم المجموعات المقبولة في دراسة نظرية التعقيد الحسابي، خاصة في تحديد الحدود الدنيا لتعقيد بعض المشاكل.
المنطق الرياضي: تلعب المجموعات المقبولة دورًا في دراسة المنطق الرياضي، بما في ذلك نظرية الإثبات ونظرية النماذج.
نظريات التحرير: يتم تطبيق المجموعات المقبولة في دراسة نظريات التحرير في نظرية المجموعات، حيث يتم دراسة بعض الهياكل التي يمكن فيها بناء بعض النماذج.

التحديات المستقبلية

لا تزال هناك العديد من الأسئلة المفتوحة حول المجموعات المقبولة ونظرية KP. بعض التحديات المستقبلية تشمل:

استكشاف النماذج: دراسة النماذج المختلفة لـ KP، بما في ذلك العلاقة بين المجموعات المقبولة ونماذج أخرى لنظرية المجموعات.
التطبيقات: العثور على تطبيقات جديدة للمجموعات المقبولة في مجالات مثل علوم الحاسوب والمنطق والرياضيات.
التعميمات: تطوير تعميمات للمجموعات المقبولة ونظرية KP، مثل دراسة المجموعات المقبولة في سياق نظرية المجموعات الموجهة.

خاتمة

باختصار، المجموعات المقبولة هي مجموعات متعدية تشكل نماذج لنظرية مجموعات Kripke–Platek. تلعب هذه المجموعات دورًا حيويًا في دراسة نظرية المجموعات، وخاصة في مجالات نظرية النماذج، والاتساق، والرياضيات التأسيسية. من خلال فهم خصائصها وتطبيقاتها، يمكننا الحصول على رؤى أعمق في طبيعة نظرية المجموعات وعلاقتها بفروع الرياضيات الأخرى. تساهم المجموعات المقبولة في بناء أساس قوي للرياضيات وتوفر أدوات مفيدة لدراسة المشاكل المعقدة في مجالات مختلفة.

المراجع

“`