تعريف رسمي
لتكن R حلقةً (مع عنصر محايد ضربي)، و M وحدة نمطية يسرى على R. نقول أن M وحدة دورية إذا كان هناك عنصر x في M بحيث:
M = {rx | r ∈ R}
أي أن M تتكون من جميع المضاعفات الحلقة R للعنصر x. العنصر x يسمى مولد الوحدة الدورية M.
وبالمثل، إذا كانت M وحدة نمطية يمنى على R، فإنها وحدة دورية إذا كان هناك عنصر x في M بحيث:
M = {xr | r ∈ R}
أمثلة
- أي حلقة R تعتبر وحدة نمطية دورية على نفسها كـ R-وحدة نمطية، حيث العنصر المحايد الضربي 1 هو المولد.
- لتكن R = ℤ (مجموعة الأعداد الصحيحة). إذن، ℤ/nℤ (حيث n عدد صحيح) هي وحدة دورية على ℤ، مولدة بواسطة الفئة التكافئية لـ 1.
- بشكل عام، أي زمرة دائرية تعتبر وحدة دورية على حلقة الأعداد الصحيحة ℤ.
- لتكن V فضاءً متجهيًا أحادي البعد على حقل F. إذن، V هو وحدة دورية على F، وأي متجه غير صفري في V هو مولد.
خصائص الوحدات الدورية
الوحدات الدورية تتمتع ببعض الخصائص الهامة التي تجعلها مفيدة في دراسة الوحدات النمطية بشكل عام:
- الصورة الزمرية: أي صورة زمرية لوحدة دورية هي أيضًا وحدة دورية.
- الوحدات الجزئية: أي وحدة جزئية لوحدة دورية ليست بالضرورة دورية. على سبيل المثال، في الوحدة ℤ/6ℤ (وحدة دورية على ℤ)، الوحدة الجزئية {0, 2, 4} هي أيضًا دورية (مولدة بواسطة 2)، ولكن الوحدة الجزئية {0, 3} هي أيضًا دورية (مولدة بواسطة 3).
- نظرية الوحدات المتولدة بشكل منته: الوحدات الدورية تلعب دورًا مهمًا في نظرية الوحدات المتولدة بشكل منته. في بعض الحالات، يمكن تحليل الوحدات المتولدة بشكل منته على أنها مجموعات مباشرة من الوحدات الدورية.
- العلاقة بالمثيلات: هناك علاقة وثيقة بين الوحدات الدورية والمثيلات في الحلقة. إذا كانت M وحدة دورية على الحلقة R مولدة بواسطة x، فإن M متماثلة زمرّيًا مع R/Ann(x)، حيث Ann(x) هو المُفني (annihilator) للعنصر x، أي Ann(x) = {r ∈ R | rx = 0}.
تطبيقات
الوحدات الدورية تظهر في العديد من السياقات في الرياضيات، بما في ذلك:
- نظرية التمثيل: في نظرية التمثيل، تُستخدم الوحدات الدورية لدراسة تمثيلات الزمر والحلقات.
- نظرية الحلقات: في نظرية الحلقات، تُستخدم الوحدات الدورية لتصنيف الوحدات النمطية على حلقات معينة.
- الجبر التبادلي: في الجبر التبادلي، الوحدات الدورية مهمة في دراسة المثيلات الأولية والمثيلات القصوى.
- نظرية الأعداد: في نظرية الأعداد، تظهر الوحدات الدورية في دراسة الزمر الدائرية والحقول المنتهية.
الوحدات النمطية المتولدة بشكل منته
الوحدة النمطية المتولدة بشكل منته هي وحدة نمطية تحتوي على مجموعة منتهية من المولدات. أي، هناك عناصر x1, x2, …, xn في M بحيث:
M = {r1x1 + r2x2 + … + rnxn | ri ∈ R}
الوحدات الدورية هي حالة خاصة من الوحدات النمطية المتولدة بشكل منته، حيث n = 1. الوحدات المتولدة بشكل منته أكثر تعقيدًا من الوحدات الدورية، ولكنها لا تزال قابلة للدراسة بشكل جيد في كثير من الحالات.
نظرية القاعدة
في سياق الوحدات الدورية، يمكن ذكر نظرية القاعدة (Basis Theorem) التي تنص على أنه إذا كانت R حلقة أعداد صحيحة (مثل ℤ)، فإن أي وحدة نمطية متولدة بشكل منته على R يمكن كتابتها كمجموع مباشر لوحدات دورية. هذه النظرية قوية جدًا ولها تطبيقات واسعة في الجبر.
مثال توضيحي
لنفترض أن لدينا الحلقة ℤ (الأعداد الصحيحة) والوحدة النمطية ℤ2. هذه ليست وحدة دورية لأنها تحتاج إلى مولدين على الأقل، مثل (1,0) و (0,1). ومع ذلك، يمكن اعتبار ℤ وحدة دورية على نفسها، مولدة بواسطة 1.
دعونا نفكر في وحدة أخرى، ولتكن ℤ6. هذه الوحدة هي دورية، ويمكن توليدها بواسطة العنصر 1. عناصرها هي {0, 1, 2, 3, 4, 5}، وكل عنصر هو مضاعف صحيح للعنصر 1 (modulo 6).
تحليل الوحدات النمطية
تعتبر الوحدات الدورية لبنات بناء أساسية لفهم الوحدات النمطية الأكثر تعقيدًا. من خلال تحليل الوحدات النمطية إلى مكوناتها الدورية، يمكن الحصول على رؤى قيمة حول هيكلها وخصائصها. على سبيل المثال، يمكن استخدام الوحدات الدورية لتحديد ما إذا كانت الوحدة النمطية قابلة للتحلل إلى مجموع مباشر لوحدات أصغر.
الفرق بين الوحدات الدورية والوحدات الحرة
من المهم التمييز بين الوحدات الدورية والوحدات الحرة. الوحدة الحرة هي وحدة نمطية لها قاعدة، أي مجموعة من العناصر المستقلة خطيًا التي يمكن استخدامها للتعبير عن أي عنصر آخر في الوحدة النمطية كمجموعة خطية. الوحدات الدورية ليست دائمًا وحدات حرة. على سبيل المثال، ℤ هي وحدة حرة على نفسها، بينما ℤ/nℤ (حيث n > 1) هي وحدة دورية ولكنها ليست حرة، لأن العناصر ليست مستقلة خطيًا (n * 1 = 0).
الوحدات الدورية والمُفني
كما ذكرنا سابقًا، هناك علاقة مهمة بين الوحدات الدورية والمُفني. إذا كانت M وحدة دورية مولدة بواسطة x، فإن Ann(x) = {r ∈ R | rx = 0} هو مثال في R. الوحدة الدورية M متماثلة زمرّيًا مع R/Ann(x). هذه العلاقة تسمح لنا بربط الخصائص الجبرية للمُفني بالهيكل الداخلي للوحدة الدورية.
خاتمة
الوحدة الدورية هي وحدة نمطية تتولد بواسطة عنصر واحد، وهي مفهوم أساسي في نظرية الحلقات والجبر التجريدي. تلعب الوحدات الدورية دورًا مهمًا في دراسة الوحدات النمطية المتولدة بشكل منته، وتظهر في العديد من التطبيقات في الرياضيات، بما في ذلك نظرية التمثيل ونظرية الأعداد. فهم خصائص الوحدات الدورية يساعد في تحليل وهيكلة الوحدات النمطية الأكثر تعقيدًا، مما يجعلها أداة قيمة في البحث الرياضي.