<![CDATA[
مقدمة
في الرياضيات، تُعد بديهية الاختيار (بالإنجليزية: Axiom of Choice وتختصر AC) إحدى البديهيات الأساسية في نظرية المجموعات. تنص البديهية بصورة غير رسمية على أنه لأي مجموعة من المجموعات غير الخالية، يمكننا اختيار عنصر واحد من كل مجموعة وتكوين مجموعة جديدة تحتوي على هذه العناصر المختارة. على الرغم من بساطة هذه الفكرة، فإن بديهية الاختيار لها آثار عميقة ومثيرة للجدل في الرياضيات، وقد أدت إلى ظهور نتائج غير بديهية ومدهشة.
الصياغة الرسمية لبديهية الاختيار
يمكن صياغة بديهية الاختيار بشكل رسمي باستخدام لغة نظرية المجموعات. لنفترض أن لدينا مجموعة A من المجموعات غير الخالية، أي أن كل عنصر في A هو مجموعة غير خالية. تنص بديهية الاختيار على أنه يوجد دالة f، تسمى دالة الاختيار، بحيث أن f(B) هو عنصر من B لكل مجموعة B تنتمي إلى A. بعبارة أخرى، دالة الاختيار f “تختار” عنصرًا واحدًا من كل مجموعة في A.
رياضياً:
∀A (∀B ∈ A (B ≠ ∅) → ∃f (f: A → ∪A ∧ ∀B ∈ A (f(B) ∈ B)))
حيث:
- A: هي مجموعة من المجموعات.
- B: هي مجموعة تنتمي إلى A.
- ∅: هي المجموعة الخالية.
- f: هي دالة الاختيار.
- ∪A: هو اتحاد جميع المجموعات في A.
أشكال مكافئة لبديهية الاختيار
بديهية الاختيار لها العديد من الأشكال المكافئة، أي أنها عبارات رياضية تبدو مختلفة ظاهريًا ولكنها منطقيًا متساوية. بعض هذه الأشكال المكافئة تشمل:
- مبدأ الترتيب الجيد: كل مجموعة يمكن ترتيبها ترتيبًا جيدًا. الترتيب الجيد هو ترتيب كلي حيث كل مجموعة جزئية غير خالية تحتوي على عنصر أصغر.
- ليمة زورن: إذا كانت كل سلسلة مرتبة كليًا في مجموعة مرتبة جزئيًا لها حد أعلى، فإن المجموعة تحتوي على عنصر أعظمي.
- نظرية تيخونوف: حاصل ضرب أي عدد من الفضاءات المتراصة هو فضاء متراص.
هذه المكافئات تظهر أهمية بديهية الاختيار في مجالات مختلفة من الرياضيات.
تاريخ بديهية الاختيار
تم تقديم بديهية الاختيار لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الألماني إرنست زيرميلو في عام 1904، وذلك لإثبات نظرية الترتيب الجيد. أثارت البديهية جدلاً كبيرًا في ذلك الوقت، حيث اعتبرها بعض علماء الرياضيات غير بديهية أو حتى غير مقبولة. كان من بين المنتقدين الرئيسيين لإميل بوريل ورينيه بير. ومع ذلك، دافع عنها رياضيون آخرون، مثل ديفيد هيلبرت، الذين أكدوا على أهميتها في بناء الرياضيات الحديثة.
بمرور الوقت، أصبحت بديهية الاختيار مقبولة على نطاق واسع في المجتمع الرياضي، وذلك بفضل قوتها في إثبات العديد من النظريات الهامة. ومع ذلك، لا يزال بعض علماء الرياضيات يفضلون العمل في أنظمة لا تعتمد على بديهية الاختيار، أو بدراسة عواقب نفيها.
نتائج بديهية الاختيار
بديهية الاختيار لها العديد من النتائج الهامة في مختلف فروع الرياضيات، بما في ذلك:
- نظرية الترتيب الجيد: كما ذكرنا سابقًا، يمكن إثبات أن كل مجموعة يمكن ترتيبها ترتيبًا جيدًا باستخدام بديهية الاختيار.
- وجود قاعدة هاميل لجميع الفضاءات المتجهة: كل فضاء متجه لديه قاعدة هاميل، وهي مجموعة من المتجهات المستقلة خطيًا التي يمكن استخدامها للتعبير عن أي متجه آخر في الفضاء كتركيبة خطية.
- نظرية هان-باناخ: تسمح بتمديد الدوال الخطية المحدودة من فضاء جزئي إلى الفضاء بأكمله مع الحفاظ على المعيار.
- مفارقة باناخ-تارسكي: ربما تكون هذه النتيجة هي الأكثر إثارة للجدل. تنص على أنه يمكن تقسيم كرة ثلاثية الأبعاد إلى عدد محدود من القطع، ثم إعادة تجميع هذه القطع بطريقة معينة لتكوين كرتين متطابقتين تمامًا للكرة الأصلية. هذه النتيجة تتنافى مع حدسنا الهندسي، وتظهر كيف يمكن لبديهية الاختيار أن تؤدي إلى نتائج غير متوقعة.
الجدل حول بديهية الاختيار
على الرغم من استخدامها الواسع النطاق، لا تزال بديهية الاختيار موضوعًا للجدل بين علماء الرياضيات. يرى البعض أنها غير بديهية، حيث أنها تفترض وجود دالة اختيار دون تحديد كيفية بنائها. بالإضافة إلى ذلك، تؤدي بديهية الاختيار إلى نتائج تعتبرها البعض غير مرضية، مثل مفارقة باناخ-تارسكي.
هناك اتجاهان رئيسيان للتعامل مع هذا الجدل:
- قبول بديهية الاختيار: يرى معظم علماء الرياضيات أن بديهية الاختيار أداة قوية وضرورية لحل العديد من المشكلات الرياضية الهامة. يؤكدون على أن الفوائد التي تجلبها البديهية تفوق أي عيوب محتملة.
- دراسة الرياضيات بدون بديهية الاختيار: هناك فرع من الرياضيات يسمى الرياضيات البنائية يسعى إلى بناء الرياضيات دون استخدام بديهية الاختيار وغيرها من المبادئ غير البنائية. في هذا الفرع، يجب أن يكون كل وجود رياضي قابلاً للإنشاء بشكل صريح.
بديهية الاختيار وبديهيات نظرية المجموعات الأخرى
بديهية الاختيار هي واحدة من عدة بديهيات تشكل نظام ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice)، وهو النظام البديهي الأكثر استخدامًا لنظرية المجموعات. البديهيات الأخرى في ZFC تشمل:
- بديهية الامتداد: تحدد أن مجموعتين متساويتان إذا وفقط إذا كانتا تحتويان على نفس العناصر.
- بديهية المجموعة الخالية: تنص على وجود مجموعة خالية لا تحتوي على أي عناصر.
- بديهية الزوج: لأي مجموعتين، يوجد مجموعة تحتوي على هاتين المجموعتين فقط.
- بديهية الاتحاد: لأي مجموعة من المجموعات، يوجد مجموعة تحتوي على جميع عناصر المجموعات في المجموعة الأصلية.
- بديهية المجموعة القوة: لأي مجموعة، يوجد مجموعة تحتوي على جميع المجموعات الجزئية من المجموعة الأصلية.
- بديهية الاستبدال: إذا كانت لدينا دالة تحدد مجموعة فريدة لكل عنصر في مجموعة معينة، فإن نطاق هذه الدالة هو أيضًا مجموعة.
- بديهية التنظيم: لأي مجموعة A وصيغة P(x)، يوجد مجموعة تحتوي على جميع عناصر A التي تحقق P(x).
- بديهية اللانهاية: يوجد مجموعة لا نهائية.
نظام ZFC هو نظام قوي بما يكفي لتأسيس معظم الرياضيات الحديثة. ومع ذلك، هناك عبارات رياضية لا يمكن إثباتها أو دحضها ضمن نظام ZFC، مثل فرضية الاستمرار. هذه العبارات تسمى عبارات غير قابلة للتقرير.
تطبيقات بديهية الاختيار في مجالات أخرى
تستخدم بديهية الاختيار في مجالات مختلفة من الرياضيات خارج نظرية المجموعات، بما في ذلك:
- التحليل الحقيقي: لإثبات نظريات مثل نظرية هان-باناخ ونظرية تيخونوف.
- الجبر: لإثبات وجود قاعدة هاميل لجميع الفضاءات المتجهة.
- الطوبولوجيا: لدراسة الفضاءات المتراصة والفضاءات المترية الكاملة.
- نظرية القياس: لإثبات وجود مجموعات غير قابلة للقياس.
تعتبر بديهية الاختيار أداة أساسية للعديد من البراهين والنظريات في هذه المجالات.
خاتمة
بديهية الاختيار هي بديهية أساسية في نظرية المجموعات لها آثار عميقة ومتنوعة في الرياضيات. على الرغم من بساطتها الظاهرية، فإنها تؤدي إلى نتائج غير بديهية ومثيرة للجدل، مثل مفارقة باناخ-تارسكي. على الرغم من الجدل المحيط بها، فقد أصبحت بديهية الاختيار أداة أساسية في بناء الرياضيات الحديثة، وتستخدم على نطاق واسع في مختلف فروع الرياضيات.