مقدمة
في الرياضيات، وبالتحديد في حقل الجبر المجرد، يُعد الإغلاق الجبري لحقل K امتدادًا جبريًا لـ K يكون جبريًا مغلقًا. بمعنى آخر، هو أصغر حقل جبري مغلق يحتوي على K. كل حقل له إغلاق جبري، وهو فريد من نوعه حتى isomorphism (تشاكل) الذي يترك كل عنصر من K ثابتًا.
يعد مفهوم الإغلاق الجبري أداة قوية في الجبر التجريدي، حيث يسمح لنا بالعمل في حقل حيث كل كثيرات الحدود لها جذور. هذا مفيد بشكل خاص عند دراسة حلول المعادلات الجبرية.
تعريف رسمي
ليكن K حقلاً. يُقال أن حقلًا K̄ هو إغلاق جبري لـ K إذا تحقق الشرطان التاليان:
- K̄ هو امتداد جبري لـ K.
- K̄ هو حقل جبري مغلق.
بعبارة أخرى، K̄ هو حقل يحتوي على K، وكل عنصر في K̄ هو جذر لكثير حدود غير ثابت بمعاملات في K، وكل كثير حدود غير ثابت بمعاملات في K̄ له جذر في K̄.
وجود الإغلاق الجبري ووحدته
إن وجود الإغلاق الجبري لأي حقل K هو نتيجة أساسية في نظرية الحقول. يمكن إثبات ذلك باستخدام مسلمة الاختيار لأصل زورن (Zorn’s Lemma). أما بالنسبة للوحدة، فإن الإغلاق الجبري لحقل K فريد من نوعه حتى تشاكل يترك كل عنصر من K ثابتًا. وهذا يعني أنه إذا كان K̄₁ و K̄₂ كلاهما إغلاقين جبريين لـ K، فهناك تشاكل φ: K̄₁ → K̄₂ بحيث φ(x) = x لكل x في K.
أمثلة
بعض الأمثلة الشائعة للإغلاقات الجبرية تشمل:
- الإغلاق الجبري للأعداد الحقيقية (ℝ): هو حقل الأعداد المركبة (ℂ). وهذا يعني أن كل عدد مركب هو جذر لكثير حدود بمعاملات حقيقية، وكل كثير حدود بمعاملات مركبة له جذر مركب.
- الإغلاق الجبري لحقل الأعداد النسبية (ℚ): يشار إليه غالبًا بـ ℚ̄ أو ℚalg، وهو حقل الأعداد الجبرية. العدد الجبري هو أي عدد مركب هو جذر لكثير حدود غير ثابت بمعاملات نسبية.
- الإغلاق الجبري للحقول المنتهية (𝔽q): ليكن 𝔽q حقلًا منتهيًا ذو q = pn عنصر، حيث p عدد أولي. الإغلاق الجبري لـ 𝔽q هو اتحاد جميع الحقول المنتهية 𝔽qm حيث m عدد صحيح موجب. هذا الحقل لانهائي، وكل عنصر فيه هو جذر لـ كثير حدود بمعاملات في 𝔽q.
خصائص الإغلاق الجبري
يتمتع الإغلاق الجبري بالعديد من الخصائص الهامة التي تجعله أداة قوية في الجبر المجرد:
- جبري مغلق: بحكم تعريفه، الإغلاق الجبري K̄ لحقل K هو حقل جبري مغلق. هذا يعني أن كل كثير حدود غير ثابت بمعاملات في K̄ له جذر في K̄.
- أصغر امتداد جبري مغلق: الإغلاق الجبري K̄ هو أصغر حقل جبري مغلق يحتوي على K. بمعنى آخر، إذا كان L حقلًا جبريًا مغلقًا يحتوي على K، فهناك تضمين (injection) من K̄ إلى L يترك كل عنصر من K ثابتًا.
- امتداد جبري: الإغلاق الجبري K̄ لحقل K هو امتداد جبري لـ K. هذا يعني أن كل عنصر في K̄ هو جذر لكثير حدود بمعاملات في K.
- غير قابل للفصل: إذا كان K حقلاً مثاليًا (characteristic صفر أو حقل منتهي)، فإن الإغلاق الجبري K̄ يكون امتدادًا غير قابل للفصل لـ K.
- قوة الاستمرارية: إذا كان K حقلًا لانهائيًا، فإن الإغلاق الجبري K̄ له نفس قوة الاستمرارية مثل K.
تطبيقات الإغلاق الجبري
يستخدم الإغلاق الجبري في العديد من مجالات الرياضيات، بما في ذلك:
- نظرية غالوا: يستخدم الإغلاق الجبري في تعريف مجموعة غالوا لـ كثير حدود.
- الهندسة الجبرية: تستخدم الإغلاقات الجبرية في تعريف الأصناف الجبرية.
- نظرية الأعداد: تستخدم الإغلاقات الجبرية في دراسة الأعداد الجبرية.
- تحليل توافقي: تستخدم الإغلاقات الجبرية في دراسة التمثيلات الموحدة للمجموعات الموضعية المدمجة.
بالإضافة إلى هذه التطبيقات المحددة، يلعب الإغلاق الجبري دورًا حاسمًا في العديد من البراهين والإنشاءات النظرية في جميع أنحاء الجبر المجرد، مما يوفر سياقًا يمكن فيه التعامل مع جذور كثيرات الحدود بشكل مريح.
بناء الإغلاق الجبري
يمكن بناء الإغلاق الجبري لحقل K بشكل تجريدي باستخدام حدوديات (polynomials). الفكرة الأساسية هي بناء سلسلة لانهائية من الامتدادات الحقلية، حيث يتم إضافة جذور كثيرات الحدود في كل خطوة. بشكل أكثر تحديدا:
- ابدأ بالحقل K.
- قم ببناء حقل امتداد K₁ عن طريق إضافة جذر لكل كثير حدود غير ثابت في K[x]. وهذا يتطلب أخذ حاصل القسمة لـ K[x] بواسطة مثال أعلى مناسب تم إنشاؤه بواسطة كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال.
- كرر العملية: قم ببناء حقل امتداد K₂ من K₁ عن طريق إضافة جذر لكل كثير حدود غير ثابت في K₁[x].
- استمر في هذه العملية بشكل لانهائي.
- الإغلاق الجبري لـ K هو اتحاد جميع الحقول Kᵢ.
هذا البناء يضمن أن كل كثير حدود بمعاملات في الإغلاق الجبري لديه جذر في الإغلاق الجبري نفسه، مما يجعله جبريًا مغلقًا.
الإغلاق الجبري المطلق
الإغلاق الجبري المطلق هو مفهوم مرتبط بالإغلاق الجبري، ولكنه يختلف عنه. الإغلاق الجبري المطلق لحقل K هو أصغر حقل جبري مغلق يحتوي على K كحقل فرعي. بمعنى آخر، هو الإغلاق الجبري لـ K الذي لا يحتوي على حقول فرعية جبرية مغلقة أخرى تحتوي على K.
يمكن بناء الإغلاق الجبري المطلق لحقل K عن طريق أخذ اتحاد جميع الإغلاقات الجبرية لـ K. هذا الاتحاد هو حقل جبري مغلق، وهو أصغر حقل جبري مغلق يحتوي على K.
الاعتبارات الحسابية
في حين أن مفهوم الإغلاق الجبري هو مفهوم نظري قوي، إلا أن التعامل معه حسابيًا يمكن أن يكون صعبًا. بشكل عام، الإغلاق الجبري لحقل مثل ℚ (الأعداد النسبية) لانهائي، مما يجعله غير ممكن للتمثيل الكامل على جهاز كمبيوتر. ومع ذلك، في بعض الحالات، يمكن التعامل مع حقول فرعية محددة جيدًا من الإغلاق الجبري.
على سبيل المثال، يمكن تمثيل الأعداد الجبرية (الإغلاق الجبري لـ ℚ) بشكل رمزي باستخدام كثيرات الحدود الجذرية. توجد خوارزميات لإجراء عمليات حسابية على هذه التمثيلات، مثل تحديد ما إذا كان عددان جبريان متساويين، أو إيجاد كثير الحدود الدنيا لعدد جبري.
خاتمة
الإغلاق الجبري هو مفهوم أساسي في الجبر التجريدي يوفر لنا حقلًا حيث يمكن حل جميع المعادلات الجبرية. إنه أداة قوية للعديد من التطبيقات في الرياضيات، من نظرية غالوا إلى الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد. على الرغم من أن بنائه قد يبدو مجردًا، إلا أنه يوفر أساسًا متينًا لفهم طبيعة الجذور والمعادلات الجبرية.