تعريف الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية
تتكون الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية من ثلاثة متغيرات: σ (سيجما)، τ (تاو)، و z. ترتبط هذه المتغيرات بالإحداثيات الديكارتية (x, y, z) بالعلاقات التالية:
- x = a * cosh(τ) * cos(σ)
- y = a * sinh(τ) * sin(σ)
- z = z
حيث: a هو نصف المسافة بين البؤرتين للقطع الناقص. المتغير σ يتراوح بين 0 و 2π، ويمثل الزاوية الإهليلجية. المتغير τ يتراوح بين 0 و ∞، ويمثل البعد الإهليلجي. والمتغير z هو الإحداثي نفسه في نظام الإحداثيات الديكارتية.
السطوح الإحداثية في هذا النظام هي:
- سطوح σ = ثابت: أسطوانات بيضاوية مركزها يقع على المحور z.
- سطوح τ = ثابت: أسطوانات زائدية مركزها يقع على المحور z.
- سطوح z = ثابت: مستويات توازي المستوى xy.
التحويلات بين الإحداثيات
من الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية إلى الديكارتية:
كما ذكرنا سابقًا، يمكن التحويل مباشرة باستخدام المعادلات المذكورة أعلاه:
- x = a * cosh(τ) * cos(σ)
- y = a * sinh(τ) * sin(σ)
- z = z
من الإحداثيات الديكارتية إلى الإسطوانية البيضاوية:
التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإسطوانية البيضاوية يتطلب بعض الحسابات الإضافية:
- τ = arcosh(√( (x² + y² + a²) / (4*a²) ) + √( (x² + y² – a²) / (4*a²) ) )
- σ = arctan(y / x) (مع الأخذ في الاعتبار الربع الذي يقع فيه (x, y))
- z = z
ملاحظة: arcosh هي الدالة العكسية للدالة جيب التمام الزائدي (cosh)، وarctan هي الدالة العكسية للدالة الظل (tan). يجب الانتباه إلى تحديد الربع الصحيح للزاوية σ باستخدام قيم x و y.
العوامل المقياسية
العوامل المقياسية هي عوامل تستخدم لتحويل التغيرات اللانهائية الصغيرة في الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية إلى تغييرات في الطول في الفضاء الديكارتي. تحدد هذه العوامل كيفية تغيير الطول في كل اتجاه إحداثي. العوامل المقياسية للإحداثيات الإسطوانية البيضاوية هي:
- hσ = a * √(sinh²(τ) + sin²(σ))
- hτ = a * √(sinh²(τ) + sin²(σ))
- hz = 1
لاحظ أن hσ = hτ. هذا يعني أن التغييرات الصغيرة في σ و τ تتوافق مع تغييرات متساوية في الطول.
حساب حجم العناصر
حجم العنصر اللانهائي الصغير في الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية يعطى بالعلاقة:
dV = hσ * hτ * hz dσ dτ dz = a² * (sinh²(τ) + sin²(σ)) dσ dτ dz
هذا العنصر الحجمي ضروري لحساب التكاملات الحجمية، مثل حساب حجم جسم ما باستخدام الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية.
حساب سطح العناصر
سطح العنصر في الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية يعطى بالعلاقات التالية:
- السطح σ = ثابت: dS = hτ * hz dτ dz = √(sinh²(τ) + sin²(σ)) dτ dz
- السطح τ = ثابت: dS = hσ * hz dσ dz = √(sinh²(τ) + sin²(σ)) dσ dz
- السطح z = ثابت: dS = hσ * hτ dσ dτ = a² * (sinh²(τ) + sin²(σ)) dσ dτ
هذه العناصر السطحية تستخدم لحساب التكاملات السطحية، مثل حساب مساحة سطح ما.
مشتقات المتجهات
تُستخدم الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية في تحليل العديد من المشكلات الفيزيائية التي تتطلب حساب مشتقات المتجهات، مثل حساب التدرج، التباعد، والالتواء. يمكن التعبير عن هذه المشتقات باستخدام العوامل المقياسية ووحدات المتجهات الأساسية في الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية.
متجه الوحدة في الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية يُعطى بالعلاقات التالية:
- eσ = (1/hσ) * (-a * sinh(τ) * sin(σ) , a * cosh(τ) * cos(σ) , 0)
- eτ = (1/hτ) * (a * cosh(τ) * cos(σ) , a * sinh(τ) * sin(σ) , 0)
- ez = (0, 0, 1)
تدرج دالة سلمية φ يعطى بالعلاقة:
∇φ = (1/hσ) * (∂φ/∂σ) eσ + (1/hτ) * (∂φ/∂τ) eτ + (∂φ/∂z) ez
التباعد لمتجه A = Aσ eσ + Aτ eτ + Az ez يعطى بالعلاقة:
∇ · A = (1 / (a * √(sinh²(τ) + sin²(σ)))) * (∂/∂σ (Aσ * √(sinh²(τ) + sin²(σ))) + ∂/∂τ (Aτ * √(sinh²(τ) + sin²(σ)))) + ∂Az/∂z
التفاف لمتجه A يعطى بالعلاقة (حساب معقد):
∇ × A = [(1 / (a * √(sinh²(τ) + sin²(σ)))) * (∂Az/∂τ – ∂/∂z (Aτ * √(sinh²(τ) + sin²(σ))))] eσ + [(1 / (a * √(sinh²(τ) + sin²(σ)))) * (∂/∂z (Aσ * √(sinh²(τ) + sin²(σ))) – ∂Az/∂σ)] eτ + [(1 / (a * √(sinh²(τ) + sin²(σ)))) * (∂/∂σ (Aτ * √(sinh²(τ) + sin²(σ))) – ∂/∂τ (Aσ * √(sinh²(τ) + sin²(σ))))] ez
تطبيقات الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية
تُستخدم الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية في مجموعة متنوعة من التطبيقات في الفيزياء والهندسة، بما في ذلك:
- الميكانيكا الكلاسيكية: تحليل حركة الأجسام في أنظمة ذات تماثل بيضاوي.
- الكهرومغناطيسية: حل مشاكل المجال الكهربائي والمغناطيسي حول الموصلات البيضاوية.
- الديناميكا الحرارية: دراسة توزيع درجة الحرارة في الأجسام ذات الشكل البيضاوي.
- ميكانيكا الموائع: تحليل تدفق الموائع حول الأجسام البيضاوية.
- الفيزياء الرياضية: حل معادلات تفاضلية جزئية في أنظمة إحداثيات مناسبة.
تُعد الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية مفيدة بشكل خاص في الحالات التي يكون فيها الشكل الهندسي للمشكلة متوافقًا مع شكل الإحداثيات، مما يؤدي إلى تبسيط المعادلات وتقليل التعقيد الرياضي.
أمثلة على الاستخدام
المجال الكهربائي: يمكن استخدام الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية لحساب المجال الكهربائي الناتج عن موصل مشحون بيضاوي الشكل. يسمح هذا النظام بتحديد توزيع الشحنات على سطح الموصل وحساب الجهد الكهربائي في نقاط مختلفة حوله.
تدفق الموائع: في ديناميكا الموائع، يمكن استخدام الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية لتحليل تدفق الموائع حول أسطوانة بيضاوية. هذا يسمح بدراسة توزيع السرعة والضغط في المائع وتحديد قوة السحب المؤثرة على الجسم.
مزايا وعيوب الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية
المزايا:
- مناسبة للمشكلات ذات التماثل البيضاوي.
- تسهيل حل المعادلات التفاضلية الجزئية.
- توفر تمثيلاً طبيعيًا للأشكال البيضاوية.
العيوب:
- التحويل بين الإحداثيات الديكارتية والإسطوانية البيضاوية قد يكون معقدًا.
- قد لا تكون مناسبة للمشاكل التي تفتقر إلى التماثل البيضاوي.
- تتطلب فهمًا جيدًا للهندسة والرياضيات المتقدمة.
الفرق بين الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية والإحداثيات الأخرى
من المهم التمييز بين الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية وأنظمة الإحداثيات الأخرى. على سبيل المثال، الإحداثيات الإسطوانية العادية (r, θ, z) مناسبة للمشاكل ذات التماثل الأسطواني، بينما الإحداثيات الكروية (r, θ, φ) مناسبة للمشاكل ذات التماثل الكروي. الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية مخصصة للمشاكل ذات التماثل البيضاوي. تعتبر الإحداثيات القطعية الإهليلجية (σ, τ) نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد، بينما الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية تضيف بعدًا ثالثًا (z) لإنشاء نظام ثلاثي الأبعاد.
خاتمة
الإحداثيات الإسطوانية البيضاوية هي نظام إحداثيات قوي ومرن يوفر أداة قيمة لتحليل المشكلات الفيزيائية والهندسية التي تعرض تماثلًا بيضاويًا. من خلال فهم تعريفها، والتحويلات، والعوامل المقياسية، والتطبيقات، يمكن للمهندسين والفيزيائيين الاستفادة من هذا النظام لحل مجموعة واسعة من المشكلات المعقدة. على الرغم من بعض التعقيدات في التحويلات، فإن القدرة على تبسيط المعادلات وتوفير تمثيل طبيعي للأنظمة البيضاوية تجعلها أداة لا غنى عنها في العديد من المجالات العلمية.