الرياضيات الفيزياء الهندسة علوم الحاسوب

قائمة تحويلات الإحداثيات الشائعة (List of common coordinate transformations)

- تحويلات إحداثيات, رسومات حاسوبية, رياضيات, فيزياء, هندسة

تحويلات الإحداثيات ثنائية الأبعاد

دعونا نبدأ ببعض تحويلات الإحداثيات ثنائية الأبعاد، والتي تتعامل مع النقاط الموجودة في المستوى.

1. الإزاحة (Translation)

الإزاحة هي أبسط أنواع التحويلات. تقوم بتحريك جميع النقاط بمسافة ثابتة في اتجاه معين. إذا كانت نقطة ما في الأصل (x, y)، وقمنا بإزاحتها بمسافة (tx, ty)، فإن الإحداثيات الجديدة (x’, y’) تُحسب على النحو التالي:

x’ = x + tx

y’ = y + ty

هذا التحويل يحافظ على المسافات والاتجاهات بين النقاط.

2. الدوران (Rotation)

الدوران يدور النقاط حول نقطة معينة (عادةً الأصل) بزاوية محددة. لحساب الإحداثيات الجديدة (x’, y’) بعد الدوران بزاوية θ (ثيتا) عكس اتجاه عقارب الساعة، نستخدم المعادلات التالية:

x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)

y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

حيث cos و sin هما دالتا جيب التمام وجيب الزاوية، على التوالي.

3. القياس (Scaling)

القياس يغير حجم الكائنات. يمكن أن يكون قياسًا موحدًا (حيث يتم تغيير الحجم في كلا الاتجاهين بنفس المعدل) أو قياسًا غير موحد (حيث يتم تغيير الحجم في اتجاهات مختلفة بمعدلات مختلفة). لحساب الإحداثيات الجديدة (x’, y’) بعد القياس بعامل قياس sx في الاتجاه x و sy في الاتجاه y:

x’ = x * sx

y’ = y * sy

4. الإنعكاس (Reflection)

الإنعكاس يعكس النقاط حول خط أو نقطة. هناك أنواع مختلفة من الإنعكاسات، بما في ذلك الإنعكاس حول المحور x، والمحور y، والخط y = x. على سبيل المثال، الإنعكاس حول المحور x يعطي:

x’ = x

y’ = -y

5. التحويلات المركبة

يمكن دمج التحويلات الأساسية المذكورة أعلاه لإنشاء تحويلات أكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، يمكننا تطبيق إزاحة، ثم دوران، ثم قياس. ترتيب التحويلات مهم؛ حيث أن تغيير الترتيب قد يؤدي إلى نتائج مختلفة.

تحويلات الإحداثيات ثلاثية الأبعاد

الآن، دعونا ننتقل إلى تحويلات الإحداثيات ثلاثية الأبعاد، والتي تتعامل مع النقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

1. الإزاحة (Translation)

كما هو الحال في ثنائي الأبعاد، تقوم الإزاحة بتحريك النقاط بمسافة ثابتة. في هذه الحالة، لدينا ثلاثة أبعاد: (x, y, z). إذا أزحنا نقطة (x, y, z) بمسافة (tx, ty, tz)، فإن الإحداثيات الجديدة (x’, y’, z’) تُحسب على النحو التالي:

x’ = x + tx

y’ = y + ty

z’ = z + tz

2. الدوران (Rotation)

الدوران في ثلاثة أبعاد أكثر تعقيدًا من ثنائي الأبعاد. يجب تحديد محور الدوران والزاوية. يمكننا الدوران حول المحاور x أو y أو z. المعادلات تختلف بناءً على المحور، ولكن الفكرة الأساسية هي تحويل الإحداثيات باستخدام مصفوفات الدوران.

على سبيل المثال، الدوران حول المحور z بزاوية θ:

x’ = x * cos(θ) – y * sin(θ)

y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)

z’ = z

3. القياس (Scaling)

القياس في ثلاثة أبعاد يعمل بنفس الطريقة كما هو الحال في ثنائي الأبعاد، ولكن مع عامل قياس إضافي للبعد z. إذا كان لدينا عوامل قياس sx, sy, sz، فإن:

x’ = x * sx

y’ = y * sy

z’ = z * sz

4. الإنعكاس (Reflection)

يمكننا الانعكاس حول المستويات (مثل المستوى xy أو المستوى yz أو المستوى xz) أو حول نقطة. على سبيل المثال، الانعكاس حول المستوى xy يعطي:

x’ = x

y’ = y

z’ = -z

5. الإسقاط (Projection)

الإسقاط يحول نقاط ثلاثية الأبعاد إلى نقاط ثنائية الأبعاد. هناك أنواع مختلفة من الإسقاطات، بما في ذلك الإسقاط المتعامد (Orthographic) والإسقاط المنظوري (Perspective). الإسقاط المتعامد يحافظ على الأحجام والمسافات، بينما الإسقاط المنظوري يعطي وهم العمق، حيث تبدو الأشياء البعيدة أصغر.

تحويلات أخرى

بالإضافة إلى التحويلات الأساسية المذكورة أعلاه، هناك أنواع أخرى من التحويلات المستخدمة في مجالات معينة.

1. التحويلات الإسقاطية (Projective Transformations)

تستخدم في الرسوميات الحاسوبية ومعالجة الصور لتصحيح التشوهات الناجمة عن زوايا الرؤية المختلفة. هذه التحويلات أكثر تعقيدًا من التحويلات التآلفية (Affine transformations) مثل الإزاحة والدوران والقياس.

2. التحويلات القطبية إلى ديكارتية (Polar to Cartesian transformations)

تحول الإحداثيات القطبية (r, θ) إلى إحداثيات ديكارتية (x, y). المعادلات هي:

x = r * cos(θ)

y = r * sin(θ)

3. التحويلات الكروية إلى ديكارتية (Spherical to Cartesian transformations)

تحول الإحداثيات الكروية (r, θ, φ) إلى إحداثيات ديكارتية (x, y, z). المعادلات هي:

x = r * sin(θ) * cos(φ)

y = r * sin(θ) * sin(φ)

z = r * cos(θ)

4. التحويلات الأسطوانية إلى ديكارتية (Cylindrical to Cartesian transformations)

تحول الإحداثيات الأسطوانية (r, θ, z) إلى إحداثيات ديكارتية (x, y, z). المعادلات هي:

x = r * cos(θ)

y = r * sin(θ)

z = z

أهمية تحويلات الإحداثيات

تحويلات الإحداثيات ضرورية في العديد من التطبيقات.

  • الرسومات الحاسوبية (Computer Graphics): تُستخدم لتحريك النماذج ثلاثية الأبعاد، وتغيير حجمها، وتدويرها، ووضعها في المشهد.
  • الروبوتات (Robotics): تُستخدم لتحديد موقع الروبوت ومكوناته، وتخطيط مسارات الحركة.
  • معالجة الصور (Image Processing): تُستخدم لتصحيح تشوهات الصور، وإجراء عمليات مثل التدوير والقياس.
  • نظم المعلومات الجغرافية (Geographic Information Systems): تُستخدم لتحويل البيانات الجغرافية من نظام إحداثيات إلى آخر.
  • الفيزياء (Physics): تُستخدم لتحليل حركة الأجسام وتحديد مواقعها في الفضاء.

التطبيقات العملية

تستخدم تحويلات الإحداثيات في العديد من التطبيقات العملية.

  • تصميم الألعاب (Game Development): تحريك الشخصيات والكائنات في بيئات ثلاثية الأبعاد.
  • تصميم الهندسي المعماري (Architectural Design): تصور وتعديل النماذج المعمارية.
  • تحليل البيانات (Data Analysis): تحويل البيانات لتبسيط التحليل والتصور.
  • الملاحة (Navigation): تحديد موقع المركبات والطائرات والسفن.

خاتمة

تحويلات الإحداثيات هي أدوات أساسية في العديد من المجالات العلمية والتطبيقية. فهم هذه التحويلات وكيفية تطبيقها أمر بالغ الأهمية للعديد من المهام، من الرسومات الحاسوبية إلى الهندسة والفيزياء. القدرة على تحويل البيانات بين أنظمة الإحداثيات المختلفة تتيح لنا معالجة المعلومات بشكل أكثر فعالية ومرونة.

المراجع

“`

مقالات مرتبطة