أساسيات طريقة النجوم والقضبان
الفكرة الأساسية وراء طريقة النجوم والقضبان بسيطة. تخيل أن لدينا n من العناصر المتطابقة (النجوم أو الكرات) التي نرغب في توزيعها على k من الحاويات المميزة (أو القسمات). لتمثيل هذا التوزيع، نستخدم n نجمة و k-1 قضيبًا. يتم وضع النجوم في صف واحد، ويتم وضع القضبان بين النجوم لتقسيمها إلى مجموعات، حيث تمثل كل مجموعة محتويات حاوية واحدة.
على سبيل المثال، إذا كان لدينا 5 نجوم (n=5) و 3 حاويات (k=3)، يمكننا استخدام قضيبين (k-1=2) لتقسيم النجوم. التوزيع التالي، ” ** | *** | “، يمثل توزيعًا حيث تحتوي الحاوية الأولى على نجمتين، والحاوية الثانية تحتوي على ثلاث نجوم، والحاوية الثالثة لا تحتوي على أي نجوم. التوزيع ” ***** | | ” يعني أن الحاوية الأولى تحتوي على 5 نجوم، في حين أن الحاويتين الثانية والثالثة فارغتان. أما التوزيع ” | | ***** ” فيعني أن الحاويتين الأولى والثانية فارغتان وأن الحاوية الثالثة تحتوي على 5 نجوم.
إذن، يمكن النظر إلى مشكلة إيجاد عدد الحلول الصحيحة غير السالبة للمعادلة x₁ + x₂ + … + xₖ = n على أنها مسألة ترتيب n نجمة و k-1 قضيبًا في صف واحد. كل ترتيب يمثل حلاً مختلفًا للمعادلة. عدد الطرق لترتيب هذه العناصر هو ببساطة عدد طرق اختيار مواقع القضبان من بين المواقع الإجمالية لـ n + k -1 عنصرًا (النجوم والقضبان). هذا يعطينا:
C(n + k – 1, k – 1) = C(n + k – 1, n) = (n + k – 1)! / (n! * (k – 1)!)
حيث C تمثل التوافيق (أو “اختر”)، و ! تمثل عاملي.
أمثلة تطبيقية
دعنا نستعرض بعض الأمثلة لتوضيح كيفية تطبيق طريقة النجوم والقضبان في حل مشاكل العد:
- المثال 1: كم عدد الحلول الصحيحة غير السالبة للمعادلة x₁ + x₂ + x₃ = 7؟
- المثال 2: كم عدد الحلول الصحيحة الموجبة للمعادلة x₁ + x₂ + x₃ = 7؟
- المثال 3: لدى بائع حلوى 10 قطع حلوى متطابقة. يريد توزيعها على 4 أطفال. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنه بها توزيع قطع الحلوى؟
في هذه الحالة، لدينا n = 7 (سبعة “نجوم”) و k = 3 (ثلاث “حاويات”). إذن، نحتاج إلى 2 قضيب (k-1 = 2). عدد الحلول هو:
C(7 + 3 – 1, 3 – 1) = C(9, 2) = 9! / (7! * 2!) = 36
في هذه الحالة، يجب أن يكون x₁, x₂ و x₃ أكبر من أو تساوي 1. لتحويل هذه المشكلة إلى مشكلة يمكننا تطبيق طريقة النجوم والقضبان عليها مباشرة، يمكننا استبدال كل xᵢ بـ yᵢ + 1، حيث yᵢ ≥ 0. هذا يعطينا:
(y₁ + 1) + (y₂ + 1) + (y₃ + 1) = 7
أو
y₁ + y₂ + y₃ = 4
الآن، لدينا n = 4 و k = 3. عدد الحلول هو:
C(4 + 3 – 1, 3 – 1) = C(6, 2) = 6! / (4! * 2!) = 15
هذا مثال مباشر على طريقة النجوم والقضبان. لدينا n = 10 (قطع الحلوى) و k = 4 (الأطفال). عدد الطرق هو:
C(10 + 4 – 1, 4 – 1) = C(13, 3) = 13! / (10! * 3!) = 286
القيود والتعميمات
على الرغم من أن طريقة النجوم والقضبان فعالة للغاية، إلا أنها تأتي مع بعض القيود. أحد القيود الرئيسية هو أنها تنطبق مباشرة فقط عندما تكون العناصر (النجوم) متطابقة والحاويات مميزة. إذا لم تكن العناصر متطابقة، أو إذا كانت الحاويات غير مميزة، يجب استخدام تقنيات عد أخرى. بالإضافة إلى ذلك، فإن الطريقة تعمل بشكل أساسي على الحلول الصحيحة غير السالبة. إذا كانت هناك قيود إضافية على متغيرات xᵢ، مثل الحد الأدنى أو الأقصى للقيمة، فيجب تعديل طريقة النجوم والقضبان أو دمجها مع تقنيات أخرى لحساب هذه القيود.
هناك تعميمات مختلفة لطريقة النجوم والقضبان. على سبيل المثال، إذا كان لكل متغير حد أدنى مختلف، فيمكننا تحويل المشكلة إلى مشكلة قياسية باستخدام عملية تغيير المتغيرات. وبالمثل، يمكن تعديل الطريقة للتعامل مع الحاويات التي لها سعة قصوى. يتضمن ذلك إدخال تقنيات مثل مبدأ الإقصاء والتضمين.
أمثلة متقدمة وتطبيقات
يمكن تطبيق طريقة النجوم والقضبان في مجموعة واسعة من المجالات، بما في ذلك:
- علوم الحاسوب: في تصميم قواعد البيانات، وتوزيع المهام، وتحليل الخوارزميات.
- الإحصاء: في حساب الاحتمالات وتوزيعات الاحتمالات.
- الفيزياء: في دراسة ميكانيكا الكم والإحصاءات الفيزيائية.
- الاقتصاد: في تحليل توزيع الدخل والثروة.
دعنا نستعرض مثالًا أكثر تقدمًا:
المثال: كم عدد الحلول الصحيحة للمعادلة x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 20، بشرط أن يكون x₁ ≥ 2، x₂ ≥ 0، x₃ ≥ 5، و x₄ ≥ 1؟
لحل هذه المشكلة، نقوم بتحويلها أولاً إلى مشكلة قياسية عن طريق تغيير المتغيرات. نحدد:
- y₁ = x₁ – 2 (إذن y₁ ≥ 0)
- y₂ = x₂ (إذن y₂ ≥ 0)
- y₃ = x₃ – 5 (إذن y₃ ≥ 0)
- y₄ = x₄ – 1 (إذن y₄ ≥ 0)
بالتعويض عن ذلك، نحصل على:
(y₁ + 2) + y₂ + (y₃ + 5) + (y₄ + 1) = 20
أو
y₁ + y₂ + y₃ + y₄ = 12
الآن، لدينا n = 12 و k = 4. عدد الحلول هو:
C(12 + 4 – 1, 4 – 1) = C(15, 3) = 15! / (12! * 3!) = 455
خاتمة
طريقة النجوم والقضبان هي أداة أساسية في التوافقية لتعداد الحلول الصحيحة غير السالبة للمعادلات الخطية. إن بساطتها وقدرتها على التكيف تجعلها مفيدة في مجموعة متنوعة من المجالات، من علوم الحاسوب إلى الإحصاء. من خلال فهم المبادئ الأساسية والقيود، يمكن للمرء استخدام هذه التقنية بفعالية لحل العديد من مشاكل العد.